К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 7–9 класс · ОГЭ · ЕГЭ

Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов: в обе стороны и с устным счётом.

Формулы сокращённого умножения — это готовые результаты умножения часто встречающихся многочленов. Их используют в обе стороны: слева направо — чтобы раскрыть скобки, справа налево — чтобы разложить на множители и сократить дробь.

Семь формул

Формулы

НазваниеФормула
квадрат суммы$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
квадрат разности$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
разность квадратов$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
куб суммы$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
куб разности$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
сумма кубов$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
разность кубов$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Квадрат суммы проговаривают так: «квадрат первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго». Удвоенное произведение — то, что чаще всего забывают.

Квадрат суммы a²ab abb² ab
Площадь квадрата со стороной $a + b$ складывается из $a^2$, $b^2$ и двух прямоугольников $ab$.

Раскрытие скобок

Пример 1.

Раскройте скобки: $(3x - 2y)^2$.

Решение. $a = 3x$, $b = 2y$: $9x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + 4y^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$.

Ответ: $9x^2 - 12xy + 4y^2$.

Пример 2.

Упростите $(x + 5)^2 - (x - 3)(x + 3)$.

Решение. $x^2 + 10x + 25 - (x^2 - 9) = 10x + 34$.

Ответ: $10x + 34$.

Разложение на множители

Пример 3.

Разложите на множители $49a^2 - 16b^2$.

Решение. Это разность квадратов $(7a)^2 - (4b)^2 = (7a - 4b)(7a + 4b)$.

Ответ: $(7a - 4b)(7a + 4b)$.

Пример 4.

Сократите дробь $\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$.

Решение. Числитель — квадрат разности $(x - 3)^2$, знаменатель — $(x - 3)(x + 3)$. Сокращаем на $x - 3$ (при $x \ne 3$): $\dfrac{x - 3}{x + 3}$.

Ответ: $\dfrac{x - 3}{x + 3}$.

Пример 5.

Разложите на множители $8m^3 - 27$.

Решение. Разность кубов: $(2m)^3 - 3^3 = (2m - 3)(4m^2 + 6m + 9)$.

Ответ: $(2m - 3)(4m^2 + 6m + 9)$.

Устный счёт с формулами

Как узнать полный квадрат

Трёхчлен $a^2 \pm 2ab + b^2$ узнают по двум квадратам по краям и проверяют средний член: в $4x^2 + 20x + 25$ края — это $(2x)^2$ и $5^2$, а удвоенное произведение $2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$ совпадает. Значит, $4x^2 + 20x + 25 = (2x + 5)^2$. А $x^2 + 4x + 16$ — не полный квадрат: нужно было бы $8x$.

Ещё разборы

Пример 6 (значение выражения).

Найдите значение $(a - 3)^2 - a(a - 6)$ при $a = -\frac{1}{7}$.

Решение. Сначала упростим: $a^2 - 6a + 9 - a^2 + 6a = 9$. Выражение не зависит от $a$.

Ответ: 9.

Пример 7 (выделение полного квадрата).

Докажите, что $x^2 - 8x + 20 \gt 0$ при любом $x$.

Решение. $x^2 - 8x + 20 = (x^2 - 8x + 16) + 4 = (x - 4)^2 + 4$. Квадрат неотрицателен, поэтому выражение не меньше 4 и всегда положительно.

Что и требовалось доказать.

Пример 8 (уравнение).

Решите уравнение $(x + 2)^2 - (x - 2)^2 = 24$.

Решение. Разность квадратов: $\big((x + 2) - (x - 2)\big)\big((x + 2) + (x - 2)\big) = 4 \cdot 2x = 8x$. Значит, $8x = 24$, $x = 3$.

Ответ: 3.

Коротко о главном

Частый вопрос

Зачем учить кубы, если в ОГЭ они редки? Сумма и разность кубов нужны для сокращения дробей вида $\frac{a^3 - 8}{a - 2} = a^2 + 2a + 4$ и в старших классах — в пределах и уравнениях. Квадраты и разность квадратов встречаются постоянно: в каждом третьем задании на преобразование.

Типичные ошибки
  • $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ — пропущено удвоенное произведение.
  • В сумме кубов писать $(a + b)(a^2 + ab + b^2)$: знак среднего члена противоположен знаку в первой скобке.
  • Путать $(a - b)^2$ и $a^2 - b^2$.
  • Не возводить коэффициент в квадрат: $(3x)^2 = 9x^2$, а не $3x^2$.

Задачи для самопроверки

  1. Раскройте скобки $(2a + 7)^2$.
    Ответ

    $4a^2 + 28a + 49$.

  2. Упростите $(y - 4)^2 - y(y - 8)$.
    Ответ

    16.

  3. Разложите на множители $25 - 36c^2$.
    Ответ

    $(5 - 6c)(5 + 6c)$.

  4. Вычислите устно $102 \cdot 98$.
    Ответ

    $10\,000 - 4 = 9996$.

  5. Сократите $\dfrac{a^2 - 25}{a^2 + 10a + 25}$.
    Ответ

    $\dfrac{a - 5}{a + 5}$.

  6. Найдите значение $\dfrac{58^2 - 42^2}{16}$.
    Ответ

    $\frac{16 \cdot 100}{16} = 100$.

  7. Разложите $x^3 + 64$.
    Ответ

    $(x + 4)(x^2 - 4x + 16)$.

Задачи по теме на сайте