К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 5–6 класс · ОГЭ

Обыкновенные дроби

Сокращение, общий знаменатель, четыре действия и смешанные числа — с алгоритмами и разобранными примерами.

Дробь — это часть целого или результат деления. С дробями приходится работать в каждом классе: в уравнениях, в процентах, в геометрии и в первом же задании ОГЭ на вычисления. Здесь собраны все правила действий с ними.

Что показывает дробь

В дроби $\dfrac{a}{b}$ число $b$ (знаменатель) показывает, на сколько равных частей разделили целое, а $a$ (числитель) — сколько таких частей взяли. Дробная черта означает деление: $\dfrac{3}{4} = 3 : 4$.

Дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя ($\frac{3}{7}$), и неправильной, если числитель не меньше знаменателя ($\frac{9}{4}$). Неправильную дробь можно записать смешанным числом: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$, потому что $9 = 2 \cdot 4 + 1$.

Основное свойство дроби и сокращение

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, дробь не изменится: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot k}{b \cdot k}$.

Сократить дробь — разделить числитель и знаменатель на их общий делитель. Лучше всего сразу делить на наибольший общий делитель (НОД), но можно и по шагам: $\frac{36}{48} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.

Общий знаменатель

Складывать и сравнивать можно только дроби с одинаковым знаменателем. Общий знаменатель — общее кратное знаменателей, удобнее всего наименьшее (НОК).

  1. Найдите НОК знаменателей. Для 6 и 8: кратные восьми — 8, 16, 24; 24 делится на 6. НОК = 24.
  2. Найдите дополнительные множители: $24 : 6 = 4$, $24 : 8 = 3$.
  3. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на её множитель: $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$, $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$.

Четыре действия

Правила действий

ДействиеПравило
сложение$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}$ (сначала общий знаменатель)
вычитание$\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}$
умножение$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$
деление$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$
число на дробь$n \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \cdot a}{b}$

При умножении общий знаменатель не нужен. Сокращать удобно ещё до перемножения — «крест-накрест»: числитель одной дроби с знаменателем другой.

Пример 1.

Вычислите $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{8}$.

Решение. Общий знаменатель 24: $\frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$.

Ответ: $1\frac{5}{24}$.

Пример 2.

Вычислите $\dfrac{14}{15} \cdot \dfrac{25}{28}$.

Решение. Сокращаем до умножения: 14 и 28 на 14, 25 и 15 на 5. Получаем $\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

Пример 3.

Вычислите $3\dfrac{1}{3} : 1\dfrac{1}{9}$.

Решение. Переводим смешанные числа в неправильные дроби: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$, $1\frac{1}{9} = \frac{10}{9}$. Деление заменяем умножением на перевёрнутую дробь: $\frac{10}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{9}{3} = 3$.

Ответ: 3.

Пример 4.

Вычислите $5\dfrac{1}{4} - 2\dfrac{2}{3}$.

Решение. Дробные части к знаменателю 12: $5\frac{3}{12} - 2\frac{8}{12}$. Из $\frac{3}{12}$ нельзя вычесть $\frac{8}{12}$, поэтому «занимаем» единицу: $5\frac{3}{12} = 4\frac{15}{12}$. Тогда $4\frac{15}{12} - 2\frac{8}{12} = 2\frac{7}{12}$.

Ответ: $2\frac{7}{12}$.

Пример 5 (как в ОГЭ).

Найдите значение выражения $\left(\dfrac{7}{12} - \dfrac{1}{4}\right) \cdot 9$.

Решение. $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, разность $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Умножаем: $\frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.

Ответ: 3.

Нахождение части от числа и числа по части

Ещё разборы

Пример 6 (многоэтажная дробь).

Вычислите $\dfrac{1 - \frac{1}{3}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}}$.

Решение. Числитель: $\frac{2}{3}$. Знаменатель: $\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Частное $\frac{2}{3} : \frac{2}{3} = 1$.

Ответ: 1.

Пример 7 (задача на совместную работу).

Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 3 часа. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы вместе?

Решение. За час первая наполняет $\frac{1}{6}$ бассейна, вторая $\frac{1}{3}$. Вместе $\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{2}$ бассейна в час. Весь бассейн — за $1 : \frac{1}{2} = 2$ часа.

Ответ: 2 часа.

Пример 8 (НОД для сокращения).

Сократите $\dfrac{84}{126}$.

Решение. Разложим на простые множители: $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$. НОД $= 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Получаем $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

Как выбрать путь вычислений

В выражениях со смешанными числами и десятичными дробями сначала решите, в каком виде считать. Если все десятичные дроби «хорошие» (0,5; 0,25; 0,2), можно перевести обыкновенные в десятичные. Если есть трети, шестые, седьмые — переводите всё в обыкновенные: $0{,}75 = \frac{3}{4}$, $1{,}2 = \frac{6}{5}$. Смешивать виды в одном действии не стоит.

Коротко о главном

Типичные ошибки
  • Складывать знаменатели: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \ne \frac{2}{5}$. Правильно $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
  • Переворачивать при делении не ту дробь: переворачивается делитель (вторая дробь).
  • Умножать смешанные числа по частям: $2\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{2} \ne 4\frac{1}{4}$. Правильно $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$.
  • Не сокращать ответ до конца.

Задачи для самопроверки

  1. Сократите дробь $\frac{42}{56}$.
    Ответ

    $\frac{3}{4}$ (делим на 14).

  2. Вычислите $\frac{2}{9} + \frac{5}{6}$.
    Ответ

    $\frac{4}{18} + \frac{15}{18} = \frac{19}{18} = 1\frac{1}{18}$.

  3. Вычислите $\frac{8}{21} \cdot \frac{7}{12}$.
    Ответ

    $\frac{2}{9}$.

  4. Вычислите $2\frac{2}{5} : \frac{3}{10}$.
    Ответ

    $\frac{12}{5} \cdot \frac{10}{3} = 8$.

  5. Вычислите $4 - 1\frac{5}{8}$.
    Ответ

    $3\frac{8}{8} - 1\frac{5}{8} = 2\frac{3}{8}$.

  6. В классе 28 учеников, $\frac{3}{7}$ из них — мальчики. Сколько девочек?
    Ответ

    Мальчиков $28 \cdot \frac{3}{7} = 12$, девочек 16.

  7. Турист прошёл 18 км, что составило $\frac{2}{3}$ маршрута. Какова длина маршрута?
    Ответ

    $18 : \frac{2}{3} = 27$ км.

Задачи по теме на сайте