К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 10–11 класс · ЕГЭ

Тригонометрические формулы и уравнения

Единичная окружность, основные тождества, формулы двойного угла и приведения, простейшие уравнения и отбор корней.

В 10–11 классе синус и косинус определяют через единичную окружность, и они становятся функциями любого угла. Для ЕГЭ нужны три умения: вычислять значения по формулам, решать простейшие уравнения и отбирать корни на промежутке (задание №13).

Единичная окружность

Точка единичной окружности, повёрнутая на угол $\alpha$ от точки $(1;\ 0)$ против часовой стрелки, имеет координаты $(\cos \alpha;\ \sin \alpha)$. Тангенс: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Радианы: $180° = \pi$, поэтому $30° = \frac{\pi}{6}$, $45° = \frac{\pi}{4}$, $60° = \frac{\pi}{3}$, $90° = \frac{\pi}{2}$.

Знаки по четвертям

ЧетвертьУглы$\sin$$\cos$$\operatorname{tg}$
I$(0;\ \frac{\pi}{2})$+++
II$(\frac{\pi}{2};\ \pi)$+−−
III$(\pi;\ \frac{3\pi}{2})$−−+
IV$(\frac{3\pi}{2};\ 2\pi)$−+−

Основные формулы

Справочник

ГруппаФормулы
тождества$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, $\quad 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$
двойной угол$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\quad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$
сложение$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$, $\quad \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
чётность$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, $\quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha$
периоды$\sin$, $\cos$ — период $2\pi$; $\operatorname{tg}$ — период $\pi$

Формулы приведения упрощают $\sin(\pi \pm \alpha)$, $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ и т. п. Правило: если в аргументе $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на «кофункцию» (синус на косинус); если $\pi$ или $2\pi$ — не меняется. Знак ставится тот, который имела исходная функция в этой четверти, считая $\alpha$ острым. Пример: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$, так как угол во II четверти, где косинус отрицателен.

Пример 1.

Известно, что $\sin\alpha = -0{,}6$ и $\alpha \in (\pi;\ \frac{3\pi}{2})$. Найдите $\cos\alpha$ и $\operatorname{tg}\alpha$.

Решение. $\cos^2\alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$. В III четверти косинус отрицателен: $\cos\alpha = -0{,}8$. $\operatorname{tg}\alpha = \frac{-0{,}6}{-0{,}8} = 0{,}75$.

Ответ: $-0{,}8$; $0{,}75$.

Пример 2.

Найдите значение $\dfrac{12\sin 11°\cos 11°}{\sin 22°}$.

Решение. $2\sin 11°\cos 11° = \sin 22°$, поэтому числитель равен $6\sin 22°$. Ответ 6.

Ответ: 6.

Простейшие уравнения

Общие решения ($n \in \mathbb{Z}$)

УравнениеРешение
$\sin x = a$, $|a| \le 1$$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$
$\cos x = a$, $|a| \le 1$$x = \pm\arccos a + 2\pi n$
$\operatorname{tg} x = a$$x = \operatorname{arctg} a + \pi n$
$\sin x = 0$$x = \pi n$
$\cos x = 0$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$\sin x = 1$ / $-1$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ / $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Если $|a| \gt 1$, у уравнений $\sin x = a$ и $\cos x = a$ решений нет.

Пример 3.

Решите уравнение $2\cos x = \sqrt{3}$.

Решение. $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Пример 4 (в формате ЕГЭ №13).

а) Решите уравнение $2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$. б) Найдите корни на отрезке $[-\pi;\ \frac{\pi}{2}]$.

Решение. а) Заменяем $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $2 - 2\cos^2 x + 3\cos x - 3 = 0$, то есть $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$. Пусть $t = \cos x$: $2t^2 - 3t + 1 = 0$, $t = 1$ или $t = \frac{1}{2}$.

$\cos x = 1$: $x = 2\pi n$. $\ \cos x = \frac{1}{2}$: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

б) На отрезке $[-\pi;\ \frac{\pi}{2}]$: из первой серии $x = 0$; из второй $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$ (следующие, $\pm\frac{\pi}{3} \pm 2\pi$, выходят за отрезок).

Ответ: а) $2\pi n$, $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi}{3}$, $0$, $\frac{\pi}{3}$.

Пример 5 (разложение на множители).

Решите уравнение $\sin 2x = \sqrt{2}\cos x$.

Решение. $2\sin x\cos x - \sqrt{2}\cos x = 0$, $\cos x(2\sin x - \sqrt{2}) = 0$. Либо $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; либо $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$, $\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Как отбирать корни

Типичные ошибки
  • Делить уравнение на $\cos x$, теряя корни $\cos x = 0$.
  • Ошибаться со знаком при извлечении $\cos\alpha$ из $\cos^2\alpha$ — смотрите на четверть.
  • Писать для косинуса $x = \arccos a + \pi n$ вместо $\pm\arccos a + 2\pi n$.
  • Не проверять ограничения после замены: $t = \cos x$ должно быть в $[-1;\ 1]$.

Задачи для самопроверки

  1. Найдите $\sin\frac{7\pi}{6}$.
    Ответ

    $-\frac{1}{2}$.

  2. $\cos\alpha = \frac{5}{13}$, $\alpha \in (\frac{3\pi}{2};\ 2\pi)$. Найдите $\sin\alpha$.
    Ответ

    $-\frac{12}{13}$.

  3. Упростите $\sin(\pi + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
    Ответ

    $-\sin\alpha + \sin\alpha = 0$.

  4. Решите уравнение $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$.
    Ответ

    $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

  5. Решите уравнение $2\sin^2 x - \sin x = 0$.
    Ответ

    $x = \pi n$; $x = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

  6. Найдите корни уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ на отрезке $[0;\ 2\pi]$.
    Ответ

    $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$.

  7. Вычислите $\cos^2 15° - \sin^2 15°$.
    Ответ

    $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Задачи по теме на сайте