Приведение к общему знаменателю
Как быстро найти наименьший общий знаменатель и дополнительные множители — в числах и в алгебраических дробях.
- Сложение и вычитание дробей, 5–6 класс
- ОГЭ №6 — вычисления
- Алгебраические дроби, 8 класс
- Дробно-рациональные уравнения
Чем меньше общий знаменатель, тем меньше потом сокращать и тем меньше шансов ошибиться. Быстрый способ найти наименьший — перебирать кратные большего знаменателя.
- Возьмите больший знаменатель и проверяйте его кратные: 1-е, 2-е, 3-е… Первое, которое делится на остальные знаменатели, — НОК.
- Дополнительный множитель каждой дроби = НОК : её знаменатель.
- Умножьте числитель на дополнительный множитель. Знаменатель уже известен — это НОК.
Пример 1.
$\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18}$.
Решение. Кратные 18: 18 (не делится на 12), 36 (делится). Множители: $36 : 12 = 3$, $36 : 18 = 2$. $\frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36}$.
Ответ: $\frac{29}{36}$.
Если знаменатели взаимно простые (например, 7 и 9), общий знаменатель — их произведение. Если один делится на другой (6 и 18), общий знаменатель — больший.
Алгебраические дроби
Принцип тот же: раскладываем знаменатели на множители и берём каждый множитель в наибольшей степени.
Пример 2.
$\dfrac{3}{x^2 - 4} - \dfrac{1}{x - 2}$.
Решение. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ — это и есть общий знаменатель. Вторая дробь получает множитель $x + 2$: $\dfrac{3 - (x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{1 - x}{(x - 2)(x + 2)}$.
Ответ: $\dfrac{1 - x}{x^2 - 4}$.
Проверь себя
- Найдите наименьший общий знаменатель дробей $\frac{1}{8}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{2}{9}$.
Показать ответ
72.
- Вычислите $\frac{7}{15} - \frac{3}{10}$.
Показать ответ
$\frac{14}{30} - \frac{9}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
- Упростите $\frac{1}{a} + \frac{1}{a + 1}$.
Показать ответ
$\dfrac{2a + 1}{a(a + 1)}$.