Уравнения: 5–7 класс
Как решать линейные уравнения: перенос слагаемых, раскрытие скобок, дроби, уравнения без корней и задачи на составление уравнения.
Содержание
Уравнение — это равенство с неизвестным. Решить его — найти все значения неизвестного, при которых равенство верно, или доказать, что их нет. Линейные уравнения — первые и самые важные: к ним сводятся почти все текстовые задачи.
Уравнения в 5 классе: компоненты действий
В простых уравнениях неизвестное находят по правилам связи между компонентами.
| Неизвестно | Как найти | Пример |
|---|---|---|
| слагаемое | сумма минус известное слагаемое | $x + 17 = 42 \Rightarrow x = 25$ |
| уменьшаемое | разность плюс вычитаемое | $x - 8 = 15 \Rightarrow x = 23$ |
| вычитаемое | уменьшаемое минус разность | $30 - x = 12 \Rightarrow x = 18$ |
| множитель | произведение делим на известный множитель | $7x = 63 \Rightarrow x = 9$ |
| делимое | частное умножаем на делитель | $x : 4 = 12 \Rightarrow x = 48$ |
| делитель | делимое делим на частное | $56 : x = 8 \Rightarrow x = 7$ |
Два правила для любого линейного уравнения
- Любое слагаемое можно перенести в другую часть уравнения, сменив его знак.
- Обе части можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число.
- Если есть дроби — умножьте обе части на общий знаменатель.
- Раскройте скобки.
- Слагаемые с $x$ перенесите влево, числа — вправо.
- Приведите подобные: получится $ax = b$.
- Если $a \ne 0$, то $x = \frac{b}{a}$. Сделайте проверку подстановкой.
Пример 1.
Решите уравнение $5x - 7 = 2x + 8$.
Решение. $5x - 2x = 8 + 7$, $3x = 15$, $x = 5$. Проверка: $25 - 7 = 18$ и $10 + 8 = 18$.
Ответ: 5.
Пример 2.
Решите уравнение $3(2x - 5) - 4(x + 1) = 7$.
Решение. Раскрываем скобки, внимательно со знаком перед второй: $6x - 15 - 4x - 4 = 7$. Получаем $2x - 19 = 7$, $2x = 26$, $x = 13$.
Ответ: 13.
Пример 3.
Решите уравнение $\dfrac{x - 1}{3} + \dfrac{x}{4} = 3$.
Решение. Умножаем на 12: $4(x - 1) + 3x = 36$, $7x - 4 = 36$, $7x = 40$, $x = \frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$.
Ответ: $5\frac{5}{7}$.
Сколько корней бывает
После упрощения получаем $ax = b$.
Уравнение $ax = b$
| Случай | Корни | Пример |
|---|---|---|
| $a \ne 0$ | один корень $x = \frac{b}{a}$ | $4x = 10$, $x = 2{,}5$ |
| $a = 0$, $b \ne 0$ | корней нет | $0 \cdot x = 5$ |
| $a = 0$, $b = 0$ | любое число | $0 \cdot x = 0$ |
Пример 4.
Решите уравнение $2(3x + 1) = 6x - 5$.
Решение. $6x + 2 = 6x - 5$, $0 \cdot x = -7$. Такого $x$ нет.
Ответ: корней нет.
Задача на составление уравнения
Пример 5.
В двух коробках 64 карандаша. Если из первой переложить во вторую 8 карандашей, то в коробках станет поровну. Сколько карандашей было в каждой коробке?
Решение. Пусть во второй было $x$, тогда в первой $64 - x$. После перекладывания: $64 - x - 8 = x + 8$. Отсюда $56 - x = x + 8$, $2x = 48$, $x = 24$. В первой $64 - 24 = 40$.
Проверка: $40 - 8 = 32$, $24 + 8 = 32$.
Ответ: 40 и 24.
Ещё разборы
Пример 6 (десятичные коэффициенты).
Решите уравнение $0{,}3(x - 2) = 0{,}5x + 0{,}2$.
Решение. Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $3(x - 2) = 5x + 2$, $3x - 6 = 5x + 2$, $-2x = 8$, $x = -4$.
Проверка: $0{,}3 \cdot (-6) = -1{,}8$ и $0{,}5 \cdot (-4) + 0{,}2 = -1{,}8$.
Ответ: −4.
Пример 7 (уравнение с модулем, 7 класс).
Решите уравнение $|2x - 1| = 5$.
Решение. Модуль равен 5, если выражение равно 5 или −5: $2x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3$; $2x - 1 = -5 \Rightarrow x = -2$.
Ответ: −2; 3.
Пример 8 (задача на движение).
Расстояние между сёлами пешеход проходит за 3 часа, а велосипедист, скорость которого на 8 км/ч больше, — за 1 час. Найдите расстояние.
Решение. Пусть скорость пешехода $x$ км/ч. Расстояние одно и то же: $3x = 1 \cdot (x + 8)$, $2x = 8$, $x = 4$. Расстояние $3 \cdot 4 = 12$ км.
Ответ: 12 км.
Коротко о главном
- Порядок: дроби → скобки → перенос → подобные → деление на коэффициент.
- При переносе знак меняется; делить можно только на ненулевое число.
- $0 \cdot x = b$: при $b \ne 0$ корней нет, при $b = 0$ — любое число.
- В текстовой задаче уравнение получается из того условия, которое ещё не использовано при обозначениях.
- Не менять знак при переносе слагаемого через знак равенства.
- Раскрывать скобку после минуса, меняя знак только у первого слагаемого: $-(x - 3) = -x + 3$.
- Умножать на общий знаменатель только дроби, забывая про числа без знаменателя.
- Делить обе части на выражение с $x$ — так можно потерять корень.
Задачи для самопроверки
- Решите уравнение $9x + 4 = 5x - 12$.
Ответ
$x = -4$.
- Решите уравнение $7 - 2(x - 3) = 3x - 2$.
Ответ
$13 - 2x = 3x - 2$, $x = 3$.
- Решите уравнение $\frac{2x + 1}{5} = \frac{x - 2}{2}$.
Ответ
$4x + 2 = 5x - 10$, $x = 12$.
- Решите уравнение $4(x - 2) = 2(2x - 4)$.
Ответ
$0 \cdot x = 0$ — любое число.
- Сумма трёх последовательных натуральных чисел равна 87. Найдите эти числа.
Ответ
$x + (x+1) + (x+2) = 87$, $x = 28$: числа 28, 29, 30.
- Отец старше сына на 26 лет, а вместе им 52 года. Сколько лет сыну?
Ответ
$x + x + 26 = 52$, $x = 13$.
Задачи по теме
- №5 · Линейные уравненияМатематика 7 класс50 задач
- Уравнения с натуральными числамиМатематика 5 класс → №8 · Уравнения25 задач
- Уравнения с переносом слагаемыхМатематика 6 класс → №8 · Линейные уравнения25 задач
- Линейные уравнения со скобками и дробямиМатематика 7 класс → №5 · Линейные уравнения25 задач
- Задачи на составление уравненийМатематика 7 класс → №5 · Линейные уравнения25 задач
- Решение систем двух уравненийМатематика 7 класс → №6 · Системы линейных уравнений25 задач
- Линейные и квадратные уравненияОГЭ → №9 · Уравнения25 задач
- №8 · УравненияМатематика 5 класс25 задач
- №8 · Линейные уравненияМатематика 6 класс25 задач
- №6 · Системы линейных уравненийМатематика 7 класс25 задач
Навыки по теме
- МГУ им. М.В. Ломоносова
- Творческая лаборатория «Дважды Два»
- 20+ лет стажа преподавания