Математика 11 класс · №2 Первообразная и интеграл
Задачи с ответами и разборами · 50 задач
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 2x + 1$ проходит через точку $(-1;\,-4)$. Найдите $F(2)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = x^{2} + x + C$.
$F(-1) = 0 + C = -4$, $C = -4$.
$F(2) = 6 - 4 = 2$.
Ответ: 2.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 6x + 3$ проходит через точку $(-2;\,2)$. Найдите $F(0)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = 3x^{2} + 3x + C$.
$F(-2) = 6 + C = 2$, $C = -4$.
$F(0) = 0 - 4 = -4$.
Ответ: −4.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 3x^{2} - 6x + 3$ проходит через точку $(-1;\,3)$. Найдите $F(-3)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x + C$.
$F(-1) = -7 + C = 3$, $C = 10$.
$F(-3) = -63 + 10 = -53$.
Ответ: −53.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = -3x^{2} - 2$ проходит через точку $(2;\,-21)$. Найдите $F(-2)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = -x^{3} - 2x + C$.
$F(2) = -12 + C = -21$, $C = -9$.
$F(-2) = 12 - 9 = 3$.
Ответ: 3.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = -6x^{2} - 6x + 6$ проходит через точку $(-2;\,0)$. Найдите $F(1)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = -2x^{3} - 3x^{2} + 6x + C$.
$F(-2) = -8 + C = 0$, $C = 8$.
$F(1) = 1 + 8 = 9$.
Ответ: 9.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = -2x$ проходит через точку $(-2;\,-10)$. Найдите $F(-3)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = -x^{2} + C$.
$F(-2) = -4 + C = -10$, $C = -6$.
$F(-3) = -9 - 6 = -15$.
Ответ: −15.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 3x^{2} - 6x + 3$ проходит через точку $(1;\,-7)$. Найдите $F(2)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x + C$.
$F(1) = 1 + C = -7$, $C = -8$.
$F(2) = 2 - 8 = -6$.
Ответ: −6.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 6x^{2} + 4x - 5$ проходит через точку $(0;\,5)$. Найдите $F(2)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = 2x^{3} + 2x^{2} - 5x + C$.
$F(0) = 0 + C = 5$, $C = 5$.
$F(2) = 14 + 5 = 19$.
Ответ: 19.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 6x^{2}$ проходит через точку $(-2;\,-13)$. Найдите $F(-1)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = 2x^{3} + C$.
$F(-2) = -16 + C = -13$, $C = 3$.
$F(-1) = -2 + 3 = 1$.
Ответ: 1.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 8x + 3$ проходит через точку $(1;\,6)$. Найдите $F(-1)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = 4x^{2} + 3x + C$.
$F(1) = 7 + C = 6$, $C = -1$.
$F(-1) = 1 - 1 = 0$.
Ответ: 0.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 3x^{2} - 2x - 2$ проходит через точку $(-2;\,-1)$. Найдите $F(-3)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = x^{3} - x^{2} - 2x + C$.
$F(-2) = -8 + C = -1$, $C = 7$.
$F(-3) = -30 + 7 = -23$.
Ответ: −23.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = -6x^{2} + 2x + 4$ проходит через точку $(1;\,7)$. Найдите $F(3)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = -2x^{3} + x^{2} + 4x + C$.
$F(1) = 3 + C = 7$, $C = 4$.
$F(3) = -33 + 4 = -29$.
Ответ: −29.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = -6x^{2} + 4x - 5$ проходит через точку $(-1;\,-1)$. Найдите $F(2)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = -2x^{3} + 2x^{2} - 5x + C$.
$F(-1) = 9 + C = -1$, $C = -10$.
$F(2) = -18 - 10 = -28$.
Ответ: −28.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 6x^{2} + 8x - 5$ проходит через точку $(-1;\,-3)$. Найдите $F(3)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = 2x^{3} + 4x^{2} - 5x + C$.
$F(-1) = 7 + C = -3$, $C = -10$.
$F(3) = 75 - 10 = 65$.
Ответ: 65.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 8x + 5$ проходит через точку $(2;\,17)$. Найдите $F(3)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = 4x^{2} + 5x + C$.
$F(2) = 26 + C = 17$, $C = -9$.
$F(3) = 51 - 9 = 42$.
Ответ: 42.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 3x^{2} + 6x - 6$ проходит через точку $(-1;\,12)$. Найдите $F(-3)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = x^{3} + 3x^{2} - 6x + C$.
$F(-1) = 8 + C = 12$, $C = 4$.
$F(-3) = 18 + 4 = 22$.
Ответ: 22.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 3x^{2} - 2x + 6$ проходит через точку $(-2;\,-15)$. Найдите $F(-1)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = x^{3} - x^{2} + 6x + C$.
$F(-2) = -24 + C = -15$, $C = 9$.
$F(-1) = -8 + 9 = 1$.
Ответ: 1.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = -8x - 4$ проходит через точку $(0;\,2)$. Найдите $F(1)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = -4x^{2} - 4x + C$.
$F(0) = 0 + C = 2$, $C = 2$.
$F(1) = -8 + 2 = -6$.
Ответ: −6.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 3x^{2} + 6$ проходит через точку $(-1;\,-3)$. Найдите $F(-2)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = x^{3} + 6x + C$.
$F(-1) = -7 + C = -3$, $C = 4$.
$F(-2) = -20 + 4 = -16$.
Ответ: −16.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = -6x^{2} - 8x - 6$ проходит через точку $(-1;\,6)$. Найдите $F(2)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = -2x^{3} - 4x^{2} - 6x + C$.
$F(-1) = 4 + C = 6$, $C = 2$.
$F(2) = -44 + 2 = -42$.
Ответ: −42.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 3x^{2} + 2x - 1$ проходит через точку $(-2;\,-12)$. Найдите $F(3)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = x^{3} + x^{2} - x + C$.
$F(-2) = -2 + C = -12$, $C = -10$.
$F(3) = 33 - 10 = 23$.
Ответ: 23.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 6x^{2} - 4x$ проходит через точку $(0;\,-4)$. Найдите $F(-2)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = 2x^{3} - 2x^{2} + C$.
$F(0) = 0 + C = -4$, $C = -4$.
$F(-2) = -24 - 4 = -28$.
Ответ: −28.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 3x^{2} - 8x - 3$ проходит через точку $(-2;\,-26)$. Найдите $F(-1)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = x^{3} - 4x^{2} - 3x + C$.
$F(-2) = -18 + C = -26$, $C = -8$.
$F(-1) = -2 - 8 = -10$.
Ответ: −10.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 2x + 3$ проходит через точку $(-2;\,-6)$. Найдите $F(0)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = x^{2} + 3x + C$.
$F(-2) = -2 + C = -6$, $C = -4$.
$F(0) = 0 - 4 = -4$.
Ответ: −4.
Разбор: Александр Владимирович
График первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 6x^{2} - 2x + 2$ проходит через точку $(2;\,9)$. Найдите $F(0)$.
Найдите общий вид первообразной $F(x) = \ldots + C$ и определите $C$ по точке.
$F(x) = 2x^{3} - x^{2} + 2x + C$.
$F(2) = 16 + C = 9$, $C = -7$.
$F(0) = 0 - 7 = -7$.
Ответ: −7.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{0}^{2} (4x)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = 2x^{2}$.
$F(2) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
Ответ: 8.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{-2}^{-1} (-3x^{2} + 4x + 3)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = -x^{3} + 2x^{2} + 3x$.
$F(-1) - F(-2) = 0 - 10 = -10$.
Ответ: −10.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} + 12x$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} + 12x = 0$ при $x = 0$ и $x = 4$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{0}^{4} (-3x^{2} + 12x)\,dx = 32$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 32.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -x^{2} + 4x + 5$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-x^{2} + 4x + 5 = 0$ при $x = -1$ и $x = 5$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{-1}^{5} (-x^{2} + 4x + 5)\,dx = 36$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 36.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{1}^{3} (-6x^{2} + 6x - 3)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 3x$.
$F(3) - F(1) = -36 - (-2) = -34$.
Ответ: −34.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{-1}^{3} (3x^{2} - 2x + 2)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = x^{3} - x^{2} + 2x$.
$F(3) - F(-1) = 24 - (-4) = 28$.
Ответ: 28.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} - 6x + 9$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} - 6x + 9 = 0$ при $x = -3$ и $x = 1$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{-3}^{1} (-3x^{2} - 6x + 9)\,dx = 32$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 32.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{1}^{3} (-3x^{2} + 4x - 1)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = -x^{3} + 2x^{2} - x$.
$F(3) - F(1) = -12 - 0 = -12$.
Ответ: −12.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} + 24x - 36$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} + 24x - 36 = 0$ при $x = 2$ и $x = 6$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{2}^{6} (-3x^{2} + 24x - 36)\,dx = 32$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 32.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{-1}^{2} (6x^{2} + 4x - 5)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = 2x^{3} + 2x^{2} - 5x$.
$F(2) - F(-1) = 14 - 5 = 9$.
Ответ: 9.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} - 6x$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} - 6x = 0$ при $x = -2$ и $x = 0$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{-2}^{0} (-3x^{2} - 6x)\,dx = 4$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} + 21x - 30$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} + 21x - 30 = 0$ при $x = 2$ и $x = 5$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{2}^{5} (-3x^{2} + 21x - 30)\,dx = \frac{27}{2}$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 13,5.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{1}^{2} (-6x^{2} + 2x + 2)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = -2x^{3} + x^{2} + 2x$.
$F(2) - F(1) = -8 - 1 = -9$.
Ответ: −9.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{-2}^{1} (-2x - 2)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = -x^{2} - 2x$.
$F(1) - F(-2) = -3 - 0 = -3$.
Ответ: −3.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} + 3$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} + 3 = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{-1}^{1} (-3x^{2} + 3)\,dx = 4$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович