Математика 11 класс · №3 Объёмы тел
Задачи с ответами и разборами · 25 задач · решено 0
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $12$ и $35$. Боковое ребро равно $12$. Найдите объём призмы.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 210$, $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 210 \cdot 12 = 2520$.
Ответ: 2520.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус шара равен $6$. Найдите объём шара, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi$.
Ответ: 288.
Разбор: Александр Владимирович
Каждое ребро куба увеличили в $4$ раза. Во сколько раз увеличился его объём?
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
Объём куба пропорционален кубу ребра: $4^3 = 64$.
Ответ: 64.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания конуса равен $6$, высота равна $18$. Найдите объём конуса, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 18 = 216\pi$.
Ответ: 216.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $1$, высота равна $7$. Найдите объём цилиндра, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 1 \cdot 7 = 7\pi$.
Ответ: 7.
Разбор: Александр Владимирович
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $9$ и $40$. Боковое ребро равно $4$. Найдите объём призмы.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = 180$, $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 180 \cdot 4 = 720$.
Ответ: 720.
Разбор: Александр Владимирович
Каждое ребро куба увеличили в $5$ раз. Во сколько раз увеличился его объём?
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
Объём куба пропорционален кубу ребра: $5^3 = 125$.
Ответ: 125.
Разбор: Александр Владимирович
Каждое ребро куба увеличили в $3$ раза. Во сколько раз увеличился его объём?
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
Объём куба пропорционален кубу ребра: $3^3 = 27$.
Ответ: 27.
Разбор: Александр Владимирович
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $7$ и $24$. Боковое ребро равно $11$. Найдите объём призмы.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$, $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 84 \cdot 11 = 924$.
Ответ: 924.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $9$, высота равна $6$. Найдите объём цилиндра, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 81 \cdot 6 = 486\pi$.
Ответ: 486.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус шара равен $9$. Найдите объём шара, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729 = 972\pi$.
Ответ: 972.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания конуса равен $8$, высота равна $9$. Найдите объём конуса, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 9 = 192\pi$.
Ответ: 192.
Разбор: Александр Владимирович
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $12$, высота равна $18$. Найдите объём пирамиды.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 18 = 864$.
Ответ: 864.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $8$, высота равна $6$. Найдите объём цилиндра, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 64 \cdot 6 = 384\pi$.
Ответ: 384.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $6$, высота равна $10$. Найдите объём цилиндра, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 36 \cdot 10 = 360\pi$.
Ответ: 360.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания конуса равен $3$, высота равна $15$. Найдите объём конуса, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 15 = 45\pi$.
Ответ: 45.
Разбор: Александр Владимирович
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $9$, высота равна $9$. Найдите объём пирамиды.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 9 = 243$.
Ответ: 243.
Разбор: Александр Владимирович
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $3$ и $4$. Боковое ребро равно $5$. Найдите объём призмы.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$, $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 6 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30.
Разбор: Александр Владимирович
Каждое ребро куба увеличили в $2$ раза. Во сколько раз увеличился его объём?
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
Объём куба пропорционален кубу ребра: $2^3 = 8$.
Ответ: 8.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус шара равен $12$. Найдите объём шара, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1728 = 2304\pi$.
Ответ: 2304.
Разбор: Александр Владимирович