Производная сложной функции
«Внешняя по внутренней на производную внутренней»: как не забыть последний множитель.
Где встречается:
- Производная, 10–11 класс
- ЕГЭ профиль №8, №12
- Первообразная линейной замены
Сложная функция — это функция от функции: $\sin(3x^2)$, $(2x - 1)^5$, $\ln(x^2 + 1)$. Её производная берётся «снаружи внутрь».
$$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$
Производная внешней функции (внутренность не трогаем) умножается на производную внутренней.
- Назовите внутреннюю функцию $g(x)$ — то, что стоит «в скобках», под корнем, в показателе, под знаком логарифма.
- Продифференцируйте внешнюю функцию, будто $g(x)$ — просто буква.
- Умножьте на $g'(x)$.
Примеры
| Функция | Производная |
|---|---|
| $(2x - 1)^5$ | $5(2x - 1)^4 \cdot 2 = 10(2x - 1)^4$ |
| $\sin(3x^2)$ | $\cos(3x^2) \cdot 6x$ |
| $\ln(x^2 + 1)$ | $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ |
| $e^{-2x}$ | $-2e^{-2x}$ |
| $\sqrt{4x + 1}$ | $\dfrac{4}{2\sqrt{4x + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{4x + 1}}$ |
Пример.
Найдите точку минимума $y = e^{x^2 - 4x}$.
Решение. $y' = e^{x^2 - 4x} \cdot (2x - 4)$. Экспонента всегда положительна, поэтому знак $y'$ — это знак $2x - 4$: «$-$» до 2 и «$+$» после. Минимум в точке 2.
Ответ: 2.
Проверь себя
- Найдите производную $\cos(5x + 1)$.
Показать ответ
$-5\sin(5x + 1)$.
- Найдите $f'(1)$, если $f(x) = (x^2 + 1)^3$.
Показать ответ
$3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x$, при $x = 1$: $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$.
- Найдите производную $\ln(3x)$.
Показать ответ
$\frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$.