Математика 10 класс · №7 Производная
Задачи с ответами и разборами · 25 задач
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^{3} - t^{2} + 12t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 4$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 9t^{2} - 2t + 12$, $v(4) = 9 \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 12 = 148$ (м/с).
Ответ: 148.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 2t^{3} - 4t^{2} + t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 4$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 6t^{2} - 8t + 1$, $v(4) = 6 \cdot 16 - 8 \cdot 4 + 1 = 65$ (м/с).
Ответ: 65.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = -2x^{2} - 5x - 2$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(-1) = 1$, $f'(x) = -4x - 5$, $k = f'(-1) = -1$. Касательная: $y = 1 + (-1)(x - (-1)) = -x$, $m = 0$.
Ответ: 0.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = -x^{2} - 2x + 5$ в точке с абсциссой $x_0 = -4$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(-4) = -3$, $f'(x) = -2x - 2$, $k = f'(-4) = 6$. Касательная: $y = -3 + 6(x - (-4)) = 6x + 21$, $m = 21$.
Ответ: 21.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^{3} + t^{2} + t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 1$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 9t^{2} + 2t + 1$, $v(1) = 9 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 = 12$ (м/с).
Ответ: 12.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = t^{3} + 4t^{2} + 4t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 5$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 3t^{2} + 8t + 4$, $v(5) = 3 \cdot 25 + 8 \cdot 5 + 4 = 119$ (м/с).
Ответ: 119.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = 2x^{2} - 2x - 3$ в точке с абсциссой $x_0 = 4$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(4) = 21$, $f'(x) = 4x - 2$, $k = f'(4) = 14$. Касательная: $y = 21 + 14(x - 4) = 14x - 35$, $m = -35$.
Ответ: −35.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = -3x^{2} - 6x + 2$ в точке с абсциссой $x_0 = -3$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(-3) = -7$, $f'(x) = -6x - 6$, $k = f'(-3) = 12$. Касательная: $y = -7 + 12(x - (-3)) = 12x + 29$, $m = 29$.
Ответ: 29.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^{3} + 3t^{2} + 5t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 5$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 9t^{2} + 6t + 5$, $v(5) = 9 \cdot 25 + 6 \cdot 5 + 5 = 260$ (м/с).
Ответ: 260.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^{3} - 3t^{2} + 10t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 5$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 9t^{2} - 6t + 10$, $v(5) = 9 \cdot 25 - 6 \cdot 5 + 10 = 205$ (м/с).
Ответ: 205.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = 3x^{2} + 3x - 4$ в точке с абсциссой $x_0 = -4$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(-4) = 32$, $f'(x) = 6x + 3$, $k = f'(-4) = -21$. Касательная: $y = 32 + (-21)(x - (-4)) = -21x - 52$, $m = -52$.
Ответ: −52.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = -3x^{2} + 5x - 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(3) = -13$, $f'(x) = -6x + 5$, $k = f'(3) = -13$. Касательная: $y = -13 + (-13)(x - 3) = -13x + 26$, $m = 26$.
Ответ: 26.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 2t^{3} + 7t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 3$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 6t^{2} + 7$, $v(3) = 6 \cdot 9 + 0 \cdot 3 + 7 = 61$ (м/с).
Ответ: 61.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^{3} + 3t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 4$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 9t^{2} + 3$, $v(4) = 9 \cdot 16 + 0 \cdot 4 + 3 = 147$ (м/с).
Ответ: 147.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = 3x^{2} - x - 8$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(1) = -6$, $f'(x) = 6x - 1$, $k = f'(1) = 5$. Касательная: $y = -6 + 5(x - 1) = 5x - 11$, $m = -11$.
Ответ: −11.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = 2x^{2} - 2x - 8$ в точке с абсциссой $x_0 = -2$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(-2) = 4$, $f'(x) = 4x - 2$, $k = f'(-2) = -10$. Касательная: $y = 4 + (-10)(x - (-2)) = -10x - 16$, $m = -16$.
Ответ: −16.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = t^{3} - 5t^{2} + 2t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 6$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 3t^{2} - 10t + 2$, $v(6) = 3 \cdot 36 - 10 \cdot 6 + 2 = 50$ (м/с).
Ответ: 50.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 2t^{3} - t^{2} + 3t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 4$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 6t^{2} - 2t + 3$, $v(4) = 6 \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 3 = 91$ (м/с).
Ответ: 91.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = -x^{2} + x - 7$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(-1) = -9$, $f'(x) = -2x + 1$, $k = f'(-1) = 3$. Касательная: $y = -9 + 3(x - (-1)) = 3x - 6$, $m = -6$.
Ответ: −6.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 2t^{3} - 2t^{2} + 9t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 6$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 6t^{2} - 4t + 9$, $v(6) = 6 \cdot 36 - 4 \cdot 6 + 9 = 201$ (м/с).
Ответ: 201.
Разбор: Александр Владимирович