Теорема Пифагора: египетские тройки
Какие тройки сторон стоит узнавать в лицо, чтобы не возводить в квадрат большие числа.
Где встречается:
- Теорема Пифагора, 8 класс
- ОГЭ №15–17, №23
- ЕГЭ профиль №1, №3, №14, №17
Авторы задач любят «целые» прямоугольные треугольники. Если узнать тройку сразу, ответ получается без вычислений и без извлечения корня.
Пифагоровы тройки
| Основная | Кратные |
|---|---|
| 3, 4, 5 | 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20; 15, 20, 25; 30, 40, 50 |
| 5, 12, 13 | 10, 24, 26; 15, 36, 39 |
| 8, 15, 17 | 16, 30, 34 |
| 7, 24, 25 | 14, 48, 50 |
| 20, 21, 29 | |
| 9, 40, 41 |
Приём: вынести общий множитель
- Найдите общий делитель известных сторон.
- Разделите на него — получится маленькая тройка, которую вы знаете.
- Найдите недостающую сторону маленькой тройки и умножьте обратно.
Пример.
Катеты 18 и 24. Найдите гипотенузу.
Решение. $18 = 6 \cdot 3$, $24 = 6 \cdot 4$ — это тройка 3, 4, 5, увеличенная в 6 раз. Гипотенуза $6 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30.
Осторожно: тройку можно применять, только если известно, какая сторона — гипотенуза. Катеты 5 и 13 — это не тройка 5, 12, 13: там 13 — гипотенуза. Здесь гипотенуза $\sqrt{25 + 169} = \sqrt{194}$.
Проверь себя
- Гипотенуза 26, катет 10. Найдите другой катет.
Показать ответ
Тройка 5, 12, 13 в 2 раза: 24.
- Катеты 16 и 30. Найдите гипотенузу.
Показать ответ
8, 15, 17 в 2 раза: 34.
- Диагонали ромба 14 и 48. Найдите сторону.
Показать ответ
Половины 7 и 24 — тройка 7, 24, 25. Сторона 25.