Разложение квадратного трёхчлена на множители
Формула $a(x - x_1)(x - x_2)$ и как не потерять коэффициент $a$.
- Сокращение алгебраических дробей, 8 класс
- ОГЭ №20 — упрощение выражений
- Метод интервалов
- ЕГЭ профиль №7, №15
Разложение трёхчлена нужно для сокращения дробей и для метода интервалов. Формула одна, а главная ошибка — забыть старший коэффициент.
Если $x_1$, $x_2$ — корни трёхчлена $ax^2 + bx + c$, то $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).$$
- Найдите корни: по теореме Виета (если $a = 1$ и корни целые) или через дискриминант.
- Запишите $a(x - x_1)(x - x_2)$. Следите за знаками: корень $-3$ даёт скобку $(x + 3)$.
- Если корень дробный, внесите $a$ в скобку: $3\left(x - \frac{1}{3}\right) = (3x - 1)$.
- Проверьте: раскройте скобки в уме и сравните хотя бы свободный член.
Пример.
Разложите $3x^2 + 5x - 2$.
Решение. $D = 25 + 24 = 49$, $x = \frac{-5 \pm 7}{6}$: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = -2$. Значит, $3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x + 2) = (3x - 1)(x + 2)$.
Проверка: $(3x - 1)(x + 2) = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x^2 + 5x - 2$.
Ответ: $(3x - 1)(x + 2)$.
Если $D \lt 0$, трёхчлен на линейные множители не раскладывается. Если $D = 0$ — это полный квадрат: $a(x - x_0)^2$.
Проверь себя
- Разложите $x^2 - x - 12$.
Показать ответ
$(x - 4)(x + 3)$.
- Разложите $2x^2 - 7x + 6$.
Показать ответ
Корни 2 и $\frac{3}{2}$: $(x - 2)(2x - 3)$.
- Сократите $\dfrac{x^2 + 2x - 15}{x^2 - 9}$.
Показать ответ
$\dfrac{(x + 5)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \dfrac{x + 5}{x + 3}$.