Метод интервалов за 1 минуту
Точки, крайний правый знак и чередование с учётом кратности — короткий алгоритм для любого рационального неравенства.
- Квадратные и рациональные неравенства, 8–9 класс
- ОГЭ №13, №20
- ЕГЭ профиль №15
- Область определения функций
Метод интервалов работает для любого неравенства вида $\dfrac{\text{произведение скобок}}{\text{произведение скобок}} \vee 0$. Главное — привести его к такому виду.
- Ноль справа. Перенесите всё влево, приведите к общему знаменателю. Не умножайте на знаменатель!
- Множители. Разложите числитель и знаменатель. Коэффициент при $x$ в каждой скобке сделайте положительным: $(3 - x) = -(x - 3)$, минус перенесите в знак неравенства.
- Точки. Нули числителя закрашены при $\ge$, $\le$; нули знаменателя всегда выколоты.
- Знаки. Справа всегда «$+$» (после шага 2). Двигаясь влево, меняйте знак в каждой точке нечётной кратности и сохраняйте в точке чётной кратности.
Пример.
$\dfrac{(3 - x)(x + 1)^2}{x + 4} \le 0$.
Решение. $(3 - x) = -(x - 3)$, меняем знак: $\dfrac{(x - 3)(x + 1)^2}{x + 4} \ge 0$. Точки: $-4$ (выколота), $-1$ (закрашена, кратность 2), $3$ (закрашена). Справа «$+$»; через 3 — «$-$»; через $-1$ знак сохраняется — «$-$»; через $-4$ — «$+$».
Берём «$+$» и закрашенные точки: $(-\infty;\ -4) \cup \{-1\} \cup [3;\ +\infty)$.
Ответ: $(-\infty;\ -4) \cup \{-1\} \cup [3;\ +\infty)$.
Не теряйте изолированную точку. В нестрогом неравенстве корень чётной кратности даёт ноль и входит в ответ, даже если вокруг него «неподходящий» знак.
Проверь себя
- Решите $\dfrac{x - 1}{x + 2} \gt 0$.
Показать ответ
$(-\infty;\ -2) \cup (1;\ +\infty)$.
- Решите $(x - 4)^2(x + 3) \le 0$.
Показать ответ
$(-\infty;\ -3] \cup \{4\}$.
- Решите $\dfrac{2 - x}{x} \ge 0$.
Показать ответ
$\dfrac{x - 2}{x} \le 0$: $(0;\ 2]$.