Сумма арифметической прогрессии
Приём Гаусса: «первый плюс последний, пополам, на количество» — и как считать количество членов.
- Прогрессии, 9 класс
- ОГЭ №14
- ЕГЭ профиль №10, №19
Чтобы сложить числа от 1 до 100, можно сложить пары с концов: $1 + 100$, $2 + 99$, … Каждая пара даёт 101, пар 50 — сумма 5050. Так работает формула суммы любой арифметической прогрессии.
$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$
Среднее первого и последнего члена, умноженное на количество членов.
Самое трудное — найти $n$
Количество членов от $a_1$ до $a_n$ с шагом $d$: $n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$. Плюс один — потому что считаем и первый, и последний.
Пример.
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 7.
Решение. Первое — 14, последнее — 98. Количество: $\frac{98 - 14}{7} + 1 = 13$. Сумма: $\frac{14 + 98}{2} \cdot 13 = 56 \cdot 13 = 728$.
Ответ: 728.
Если известны $a_1$, $d$ и $n$, но не $a_n$, используйте $S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$.
Проверь себя
- Найдите сумму нечётных чисел от 1 до 99.
Показать ответ
50 чисел, $\frac{1 + 99}{2} \cdot 50 = 2500$.
- Сколько членов в прогрессии $5, 8, 11, \ldots, 62$?
Показать ответ
$\frac{62 - 5}{3} + 1 = 20$.
- Найдите сумму первых 12 членов прогрессии с $a_1 = -3$, $d = 2$.
Показать ответ
$\frac{-6 + 22}{2} \cdot 12 = 96$.