Свойства логарифмов на практике
Как за три действия упростить любое логарифмическое выражение из ЕГЭ №7.
Где встречается:
- ЕГЭ профиль №7 — вычисления
- ЕГЭ профиль №6, №13, №15
- Показательные уравнения: ответ через логарифм
Почти любое вычислительное задание с логарифмами решается одним из трёх ходов. Определите, какой нужен, — и дальше всё делается в одну строку.
Три хода
| Видите | Делайте | Пример |
|---|---|---|
| сумма или разность логарифмов с одним основанием | соберите в один логарифм | $\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 4 = 2$ |
| коэффициент перед логарифмом или степень в аргументе | внесите или вынесите | $2\log_5 10 - \log_5 4 = \log_5 \frac{100}{4} = 2$ |
| разные основания или дробь из логарифмов | приведите к одному основанию | $\frac{\log_7 27}{\log_7 3} = \log_3 27 = 3$ |
Пример 1.
$\log_3 18 + \log_3 1{,}5$.
Решение. $\log_3 (18 \cdot 1{,}5) = \log_3 27 = 3$.
Ответ: 3.
Пример 2.
$\log_8 2 + \log_{\frac{1}{2}} 4$.
Решение. $\log_{2^3} 2 = \frac{1}{3}$. $\log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1} = -2$. Сумма $-\frac{5}{3}$.
Ответ: $-\frac{5}{3}$.
Пример 3.
$36^{\log_6 5}$.
Решение. $36 = 6^2$: $6^{2\log_6 5} = 6^{\log_6 25} = 25$.
Ответ: 25.
Перед ответом прикиньте: $\log_2 10$ чуть больше 3, потому что $2^3 = 8$. Оценка ловит ошибку в знаке или в порядке.
Проверь себя
- Вычислите $\log_4 8$.
Показать ответ
$\frac{3}{2}$.
- Вычислите $\lg 0{,}001 + \log_5 125$.
Показать ответ
$-3 + 3 = 0$.
- Вычислите $\log_2 \log_2 16$.
Показать ответ
$\log_2 4 = 2$.