ОДЗ за 30 секунд
Четыре ограничения, которые нужно выписать до решения, — и где их ищут.
- Дробно-рациональные уравнения, 8 класс
- Иррациональные и логарифмические уравнения, 10–11 класс
- ЕГЭ профиль №6, №13, №15
Область допустимых значений (ОДЗ) — все $x$, при которых каждая часть уравнения имеет смысл. Её выписывают до решения: это занимает полминуты и защищает от посторонних корней.
Где искать ограничения
| Видите | Условие |
|---|---|
| дробь $\dfrac{f}{g}$ | $g \ne 0$ |
| корень чётной степени $\sqrt{f}$ | $f \ge 0$ |
| логарифм $\log_{h} f$ | $f \gt 0$, $\ h \gt 0$, $\ h \ne 1$ |
| $\operatorname{tg} f$ / $\operatorname{ctg} f$ | $\cos f \ne 0$ / $\sin f \ne 0$ |
- Пробегите глазами выражение слева направо и выпишите условие для каждой дроби, корня, логарифма.
- Не решайте ОДЗ полностью, если это сложно: достаточно проверить найденные корни по выписанным условиям.
- В ответ попадают только корни, удовлетворяющие всем условиям.
Пример.
Решите $\log_3(x^2 - 4x) = \log_3(2x - 8)$.
Решение. ОДЗ: $x^2 - 4x \gt 0$ и $2x - 8 \gt 0$. Второе условие даёт $x \gt 4$, и при $x \gt 4$ первое тоже выполнено.
Уравнение: $x^2 - 4x = 2x - 8$, $x^2 - 6x + 8 = 0$, $x = 2$ или $x = 4$. Ни один корень не удовлетворяет $x \gt 4$.
Ответ: корней нет.
Удобный приём: если условий много, выберите самое простое (например, $x \gt 4$) и проверьте корни по нему, а остальные — подстановкой.
Проверь себя
- Найдите ОДЗ выражения $\sqrt{x + 3} + \dfrac{1}{x - 2}$.
Показать ответ
$x \ge -3$, $x \ne 2$.
- Найдите ОДЗ $\log_{x}(5 - x)$.
Показать ответ
$0 \lt x \lt 5$, $x \ne 1$.
- Решите $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$.
Показать ответ
Числитель равен нулю при $x = \pm 3$, но $x \ne -3$. Ответ: 3.