5–9 класс · ОГЭ · ЕГЭ7 мин чтения

Проценты

Три типа задач на проценты, повышение и снижение цены, сложные проценты и банковские вклады — от 5 класса до ЕГЭ.

Содержание

Процент — это сотая часть: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Задачи на проценты есть в каждом экзамене: в практических заданиях ОГЭ, в текстовой задаче ЕГЭ и в экономической задаче профильного уровня. Почти все они сводятся к трём базовым действиям.

Перевод процентов

Чтобы записать процент дробью, делим на 100: $35\% = 0{,}35$, $\ 4\% = 0{,}04$, $\ 120\% = 1{,}2$. Чтобы дробь записать в процентах, умножаем на 100: $0{,}085 = 8{,}5\%$, $\ \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\%$.

Проценты и дроби

Проценты	Дробь	Проценты	Дробь
50 %	$\frac{1}{2}$	20 %	$\frac{1}{5}$
25 %	$\frac{1}{4}$	10 %	$\frac{1}{10}$
75 %	$\frac{3}{4}$	5 %	$\frac{1}{20}$
$33\frac{1}{3}$ %	$\frac{1}{3}$	12,5 %	$\frac{1}{8}$

Три базовые задачи

Что найти	Как	Пример
процент от числа	число $\times$ доля	15 % от 240: $240 \cdot 0{,}15 = 36$
число по его проценту	часть $:$ доля	30 % числа равны 12: $12 : 0{,}3 = 40$
сколько процентов одно число от другого	часть $:$ целое $\times 100\%$	18 от 72: $\frac{18}{72} = 0{,}25 = 25\%$

Самая надёжная проверка — понять, что принимается за 100 %. Это всегда та величина, с которой сравнивают: «на сколько процентов новая цена больше старой» — за 100 % берём старую.

Повышение и понижение

Увеличить на $p\%$ — умножить на $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$. Уменьшить на $p\%$ — умножить на $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$.

Пример 1.

Футболка стоила 800 рублей. Сначала цену подняли на 25 %, а потом снизили на 20 %. Сколько стоит футболка теперь?

Решение. $800 \cdot 1{,}25 = 1000$, затем $1000 \cdot 0{,}8 = 800$. Цена вернулась к исходной, хотя проценты разные: второй процент считается от новой, большей цены.

Ответ: 800 рублей.

Пример 2.

После скидки 15 % товар стоит 1360 рублей. Сколько он стоил до скидки?

Решение. Новая цена — это 85 % старой: $x \cdot 0{,}85 = 1360$, $x = 1360 : 0{,}85 = 1600$.

Ответ: 1600 рублей.

Пример 3.

Зарплата выросла с 40 000 до 46 000 рублей. На сколько процентов?

Решение. Прирост 6000. Сравниваем со старой зарплатой: $\frac{6000}{40\,000} = 0{,}15 = 15\%$.

Ответ: на 15 %.

Сложные проценты

Если величина каждый раз меняется на $p\%$ от текущего значения, через $n$ шагов она станет

$$S_n = S_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n.$$

Пример 4.

Вклад 200 000 рублей положили под 10 % годовых с ежегодной капитализацией. Сколько будет на счёте через 3 года?

Решение. $200\,000 \cdot 1{,}1^3 = 200\,000 \cdot 1{,}331 = 266\,200$ рублей.

Ответ: 266 200 рублей.

Концентрация: растворы и сплавы

Концентрация — доля вещества в смеси. Ключ к задачам: при смешивании складываются массы вещества, а не проценты.

Пример 5 (как в ЕГЭ).

Смешали 4 кг 15-процентного раствора соли и 6 кг 25-процентного. Какова концентрация смеси?

Решение. Соли в первом растворе $4 \cdot 0{,}15 = 0{,}6$ кг, во втором $6 \cdot 0{,}25 = 1{,}5$ кг. Всего соли $2{,}1$ кг в 10 кг смеси: $\frac{2{,}1}{10} = 0{,}21 = 21\%$.

Ответ: 21 %.

Экономическая задача: кредит (ЕГЭ профиль №16)

Пример 6.

Взяли кредит 2 100 000 рублей под 10 % годовых. Каждый год банк начисляет проценты на остаток долга, после чего клиент вносит одинаковый платёж $X$. Кредит погашен за 2 года. Найдите $X$.

Решение. Обозначим $S = 2\,100\,000$. После первого года долг $1{,}1S - X$. После второго года: $1{,}1\,(1{,}1S - X) - X = 0$, то есть $1{,}21S = 2{,}1X$.

Отсюда $X = \dfrac{1{,}21 \cdot 2\,100\,000}{2{,}1} = 1{,}21 \cdot 1\,000\,000 = 1\,210\,000$.

Проверка: после первого года $2\,310\,000 - 1\,210\,000 = 1\,100\,000$, после второго $1\,210\,000 - 1\,210\,000 = 0$.

Ответ: 1 210 000 рублей.

Ещё разборы

Пример 7 (процентные пункты).

Доля отличников выросла с 20 % до 25 %. На сколько процентов выросла доля?

Решение. Разность $25 - 20 = 5$ — это 5 процентных пунктов. А относительный рост: $\frac{5}{20} = 0{,}25$, то есть на 25 %. В задачах внимательно читайте, что именно спрашивают.

Ответ: на 25 % (на 5 процентных пунктов).

Пример 8 (сушка).

Свежие грибы содержат 90 % воды, сушёные — 12 %. Сколько сушёных грибов получится из 22 кг свежих?

Решение. При сушке меняется только вода, «сухое вещество» сохраняется. В свежих грибах сухого вещества 10 %: $2{,}2$ кг. В сушёных оно составляет 88 %: $x \cdot 0{,}88 = 2{,}2$, $x = 2{,}5$ кг.

Ответ: 2,5 кг.

Коротко о главном

$p\% = \frac{p}{100}$; за 100 % берём то, с чем сравниваем.
Изменение на $p\%$ — умножение на $1 \pm \frac{p}{100}$; цепочка изменений — произведение множителей.
Сложные проценты: $S_0 (1 + \frac{p}{100})^n$.
В смесях складываются массы вещества, а не проценты; при сушке сохраняется сухое вещество.

Типичные ошибки

Складывать проценты последовательных изменений: «+20 %, затем −20 %» не возвращает цену назад, получается $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$, то есть −4 %.
Брать за 100 % не ту величину. «На сколько процентов A меньше B» — делим разность на B.
Путать «на 30 %» и «до 30 %».
Смешивать проценты, а не массы вещества, в задачах на растворы.

Задачи для самопроверки

Найдите 35 % от 260.
Ответ
$260 \cdot 0{,}35 = 91$.
12 % числа равны 30. Найдите число.
Ответ
$30 : 0{,}12 = 250$.
Цена выросла с 250 до 290 рублей. На сколько процентов?
Ответ
$\frac{40}{250} = 0{,}16 = 16\%$.
Цену снизили на 10 %, а потом ещё на 10 %. На сколько процентов она снизилась в итоге?
Ответ
$0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81$ — на 19 %.
Сколько граммов соли в 300 г 6-процентного раствора?
Ответ
18 г.
Население города 50 000 человек и растёт на 2 % в год. Каким оно будет через 2 года?
Ответ
$50\,000 \cdot 1{,}02^2 = 50\,000 \cdot 1{,}0404 = 52\,020$ человек.
К 200 г 20-процентного раствора добавили 50 г воды. Какой стала концентрация?
Ответ
Вещества 40 г в 250 г раствора: 16 %.

Задачи по теме

Навыки по теме

Перевод процентов в дроби≈ 4 мин

АВ

Методичку подготовил

Александр Владимирович

МГУ им. М.В. Ломоносова
Творческая лаборатория «Дважды Два»
20+ лет стажа преподавания