К содержанию
кРепетито

7–9 класс · ОГЭ8 мин чтения

Системы уравнений

Подстановка, сложение, графический способ; системы с квадратным уравнением и текстовые задачи на систему.

Скачать PDF Задачи по теме
Содержание

Система — несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решение системы с двумя неизвестными — пара чисел $(x;\ y)$, подходящая во все уравнения. Способов решения три, и выбирать стоит самый короткий для конкретной системы.

Способ подстановки

  1. Из одного уравнения выразите одну переменную через другую (выбирайте ту, у которой коэффициент 1 или −1).
  2. Подставьте выражение во второе уравнение и решите его.
  3. Найдите вторую переменную и запишите ответ парой.

Пример 1.

Решите систему $\begin{cases} x + 2y = 7, \\ 3x - y = 7. \end{cases}$

Решение. Из первого $x = 7 - 2y$. Подставляем: $3(7 - 2y) - y = 7$, $21 - 7y = 7$, $y = 2$. Тогда $x = 7 - 4 = 3$.

Проверка: $3 + 4 = 7$, $9 - 2 = 7$.

Ответ: $(3;\ 2)$.

Способ сложения

Уравнения умножают на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и складывают.

Пример 2.

Решите систему $\begin{cases} 5x + 3y = 1, \\ 2x - 4y = 16. \end{cases}$

Решение. Умножим первое на 4, второе на 3: $20x + 12y = 4$ и $6x - 12y = 48$. Складываем: $26x = 52$, $x = 2$. Из первого: $10 + 3y = 1$, $y = -3$.

Проверка второго: $4 + 12 = 16$.

Ответ: $(2;\ -3)$.

Графический способ и число решений

Каждое линейное уравнение задаёт прямую. Решение системы — точка пересечения прямых. Поэтому решений может быть одно (прямые пересекаются), ни одного (параллельны) или бесконечно много (совпадают).

Система $a_1x + b_1y = c_1$, $a_2x + b_2y = c_2$

Отношения коэффициентовРешений
$\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$одно
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$нет
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$бесконечно много

Нелинейные системы (ОГЭ №20)

Пример 3.

Решите систему $\begin{cases} x - y = 2, \\ xy = 15. \end{cases}$

Решение. $x = y + 2$, тогда $(y + 2)y = 15$, $y^2 + 2y - 15 = 0$. По теореме Виета $y = 3$ или $y = -5$. Соответственно $x = 5$ или $x = -3$.

Проверка: $5 \cdot 3 = 15$, $(-3)(-5) = 15$.

Ответ: $(5;\ 3)$, $(-3;\ -5)$.

Пример 4.

Решите систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x + y = 7. \end{cases}$

Решение. $y = 7 - x$. Подставляем: $x^2 + (7 - x)^2 = 25$, $2x^2 - 14x + 24 = 0$, $x^2 - 7x + 12 = 0$, $x = 3$ или $x = 4$. Тогда $y = 4$ или $y = 3$.

Ответ: $(3;\ 4)$, $(4;\ 3)$.

Текстовая задача на систему

Пример 5.

За 3 тетради и 2 ручки заплатили 160 рублей, а за 2 тетради и 3 ручки — 165 рублей. Сколько стоит тетрадь и сколько ручка?

Решение. $\begin{cases} 3t + 2r = 160, \\ 2t + 3r = 165. \end{cases}$ Сложим: $5t + 5r = 325$, $t + r = 65$. Вычтем из первого второе: $t - r = -5$. Тогда $2t = 60$, $t = 30$, $r = 35$.

Ответ: тетрадь 30 рублей, ручка 35 рублей.

Ещё разборы

Пример 6 (замена в системе).

Решите систему $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}. \end{cases}$

Решение. Пусть $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$. Складывая, $2u = 1$, $u = \frac{1}{2}$; вычитая, $2v = \frac{4}{6}$, $v = \frac{1}{3}$. Значит, $x = 2$, $y = 3$.

Ответ: $(2;\ 3)$.

Пример 7 (задача на движение по реке).

Лодка за 3 часа по течению и 2 часа против течения проходит 44 км, а за 2 часа по течению и 3 часа против — 41 км. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения.

Решение. Пусть $a$ — скорость по течению, $b$ — против. $3a + 2b = 44$, $2a + 3b = 41$. Сложим: $5(a + b) = 85$, $a + b = 17$; вычтем: $a - b = 3$. Тогда $a = 10$, $b = 7$. Собственная скорость $\frac{10 + 7}{2} = 8{,}5$ км/ч, течение $\frac{10 - 7}{2} = 1{,}5$ км/ч.

Ответ: 8,5 км/ч и 1,5 км/ч.

Пример 8 (система с параметром).

При каком $a$ система $\begin{cases} 2x + ay = 4, \\ 4x + 6y = 8 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений?

Решение. Нужно, чтобы все коэффициенты были пропорциональны: $\frac{2}{4} = \frac{a}{6} = \frac{4}{8}$. Отсюда $a = 3$.

Ответ: $a = 3$.

Коротко о главном

  • Подстановка — когда одну переменную легко выразить; сложение — когда коэффициенты удобно уравнять.
  • Решение системы — пара чисел; проверяйте её в обоих уравнениях.
  • Число решений линейной системы видно по отношениям коэффициентов.
  • Симметричные системы ($x + y$, $xy$) решаются через теорему Виета.
Типичные ошибки
  • Найти только $x$ и забыть $y$. Ответ системы — пара чисел.
  • Перепутать порядок в паре: сначала $x$, потом $y$.
  • В нелинейной системе подобрать одно решение и потерять второе.
  • При умножении уравнения на число умножить не все члены.

Задачи для самопроверки

  1. Решите систему $\begin{cases} 2x + y = 11, \\ x - y = 1. \end{cases}$
    Ответ

    $(4;\ 3)$.

  2. Решите систему $\begin{cases} 3x + 4y = 10, \\ 5x - 2y = -18. \end{cases}$
    Ответ

    Умножим второе на 2 и сложим: $13x = -26$, $x = -2$, $y = 4$.

  3. Сколько решений у системы $\begin{cases} 2x - y = 3, \\ 4x - 2y = 5? \end{cases}$
    Ответ

    Ни одного: прямые параллельны.

  4. Решите систему $\begin{cases} y = x^2, \\ y = x + 6. \end{cases}$
    Ответ

    $x^2 - x - 6 = 0$: $(3;\ 9)$ и $(-2;\ 4)$.

  5. Сумма двух чисел 40, а разность 12. Найдите числа.
    Ответ

    26 и 14.

  6. Решите систему $\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases}$
    Ответ

    $(2;\ 3)$ и $(3;\ 2)$.

Задачи по теме

Навыки по теме

Проверка корней подстановкой≈ 4 мин Метод интервалов за 1 минуту≈ 4 мин
АВ
Методичку подготовил
Александр Владимирович
  • МГУ им. М.В. Ломоносова
  • Творческая лаборатория «Дважды Два»
  • 20+ лет стажа преподавания