Площадь фигуры на клетчатой бумаге: формула Пика
Как найти площадь любого многоугольника с вершинами в узлах сетки, просто посчитав точки.
- ОГЭ №18 — фигуры на клетчатой бумаге
- ЕГЭ база — площади на клетчатой бумаге
Если все вершины многоугольника лежат в узлах сетки, его площадь можно найти без формул и без достраивания — просто подсчитав узлы.
Формула Пика: $$S = \text{В} + \frac{\text{Г}}{2} - 1,$$ где В — число узлов строго внутри фигуры, Г — число узлов на границе (включая вершины). Сторона клетки равна 1.
Пример.
Найдите площадь четырёхугольника на рисунке.
Решение. На границе только 4 вершины: на сторонах других узлов нет. Внутри 8 узлов. $S = 8 + \frac{4}{2} - 1 = 9$.
Ответ: 9.
Как считать узлы на стороне. Если сторона идёт на $a$ клеток по горизонтали и $b$ по вертикали, на ней (без одного конца) $\text{НОД}(a, b)$ узлов. Сторона «3 вправо, 1 вверх» — НОД равен 1, промежуточных узлов нет.
Проверь себя
- Внутри фигуры 5 узлов, на границе 6. Найдите площадь.
Показать ответ
$5 + 3 - 1 = 7$.
- Найдите площадь треугольника с вершинами $(0;0)$, $(4;0)$, $(0;3)$ по формуле Пика.
Показать ответ
Г $= 4 + 1 + 3 = 8$, В $= 3$. $S = 3 + 4 - 1 = 6$ — совпадает с $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3$.
- Квадрат $2 \times 2$ клетки. Сколько у него узлов внутри и на границе?
Показать ответ
В = 1, Г = 8; $1 + 4 - 1 = 4$.