К содержанию
кРепетито

8–9 класс · ОГЭ · ЕГЭ7 мин чтения

Площади фигур: справочник формул

Все формулы площадей школьной планиметрии в одном месте: треугольник, четырёхугольники, круг и его части — с примерами.

Скачать PDF Задачи по теме
Содержание

Площадь — самая частая величина в геометрических задачах. Здесь собраны все формулы, которые нужны в 8–9 классе и на экзаменах, с пояснениями, когда какую выбирать.

Треугольник

Площадь треугольника

ФормулаКогда удобна
$S = \frac{1}{2} a h_a$известна сторона и высота к ней
$S = \frac{1}{2} ab \sin C$две стороны и угол между ними
$S = \frac{1}{2} ab$прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$три стороны (формула Герона), $p$ — полупериметр
$S = pr$известен радиус вписанной окружности
$S = \dfrac{abc}{4R}$известен радиус описанной окружности
$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$равносторонний треугольник

Пример 1.

Найдите площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15.

Решение. $p = 21$. $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$.

Ответ: 84.

Пример 2.

Две стороны треугольника 8 и 10, угол между ними 150°. Найдите площадь.

Решение. $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$. $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 20$.

Ответ: 20.

Четырёхугольники

Площадь четырёхугольников

ФигураФормула
прямоугольник$S = ab$
квадрат$S = a^2 = \frac{d^2}{2}$
параллелограмм$S = a h_a = ab \sin \alpha$
ромб$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = a^2 \sin \alpha$
трапеция$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$
любой выпуклый$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$ ($\varphi$ — угол между диагоналями)

Пример 3.

Основания трапеции 6 и 14, боковая сторона 10 образует с большим основанием угол 30°. Найдите площадь.

Решение. Высота — катет против угла 30° в треугольнике с гипотенузой 10: $h = 5$. $S = \frac{6 + 14}{2} \cdot 5 = 50$.

Ответ: 50.

Пример 4.

Диагонали ромба 10 и 24. Найдите площадь и сторону.

Решение. $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: сторона $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$.

Ответ: 120 и 13.

Круг и его части

Круг

ВеличинаФормула
длина окружности$C = 2\pi R$
площадь круга$S = \pi R^2$
площадь сектора с углом $\alpha°$$S = \pi R^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360}$
длина дуги$l = 2\pi R \cdot \dfrac{\alpha}{360}$

Пример 5.

Найдите площадь сектора круга радиуса 6 с центральным углом 120°. Ответ дайте, делённый на $\pi$.

Решение. $S = 36\pi \cdot \frac{120}{360} = 12\pi$. Делим на $\pi$: 12.

Ответ: 12.

Фигуры на клетчатой бумаге (ОГЭ №18)

Если вершины лежат в узлах сетки, есть три способа: формула фигуры (стороны считаем по клеткам), достраивание до прямоугольника с вычитанием лишних треугольников и формула Пика $S = \text{В} + \frac{\Gamma}{2} - 1$, где В — узлы внутри, Г — узлы на границе.

Пример 6.

Треугольник с вершинами в узлах $(0;0)$, $(6;0)$, $(2;4)$ (клетка $1 \times 1$). Найдите площадь.

Решение. Основание 6 лежит на линии сетки, высота 4: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

Ответ: 12.

Отношения площадей

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих.
  • Треугольники с общей высотой относятся как основания.
  • Подобные фигуры относятся как квадрат коэффициента подобия.
  • Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Ещё разборы

Пример 7 (достраивание на клетчатой бумаге).

Найдите площадь треугольника с вершинами $(1;1)$, $(6;3)$, $(3;6)$.

Решение. Достроим до прямоугольника $[1;6] \times [1;6]$ площадью 25. Отрежем три прямоугольных треугольника: катеты 5 и 2 (площадь 5), 3 и 3 (4,5), 2 и 5 (5). $S = 25 - 5 - 4{,}5 - 5 = 10{,}5$.

Ответ: 10,5.

Пример 8 (параллелограмм через диагонали).

Диагонали параллелограмма 10 и 16, угол между ними 30°. Найдите площадь.

Решение. $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 40$.

Ответ: 40.

Пример 9 (отношение площадей).

В треугольнике $ABC$ точка $M$ делит сторону $BC$ так, что $BM : MC = 2 : 3$. Площадь $ABC$ равна 40. Найдите площадь $ABM$.

Решение. Треугольники $ABM$ и $ABC$ имеют общую высоту из $A$, их площади относятся как основания: $\frac{BM}{BC} = \frac{2}{5}$. $S_{ABM} = 40 \cdot \frac{2}{5} = 16$.

Ответ: 16.

Коротко о главном

  • Треугольник: $\frac{1}{2}ah$, $\frac{1}{2}ab\sin C$, Герон, $pr$, $\frac{abc}{4R}$.
  • Трапеция — полусумма оснований на высоту; ромб — половина произведения диагоналей.
  • Круг $\pi R^2$, сектор — доля $\frac{\alpha}{360}$ от круга.
  • На клетчатой бумаге: формула, достраивание или формула Пика.

Частый вопрос

Какую формулу площади треугольника выбрать? Смотрите, что дано. Есть сторона и высота к ней — $\frac{1}{2}ah$. Две стороны и угол между ними — $\frac{1}{2}ab\sin C$. Три стороны — Герон. Радиус вписанной окружности и периметр — $pr$. Если ничего из этого нет, ищите высоту через теорему Пифагора или тригонометрию.

Типичные ошибки
  • Забывать $\frac{1}{2}$ в формулах треугольника и ромба.
  • Брать в трапеции боковую сторону вместо высоты.
  • Использовать $\sin \alpha$ для угла, который не лежит между данными сторонами.
  • Путать длину окружности и площадь круга.

Задачи для самопроверки

  1. Сторона треугольника 12, высота к ней 7. Найдите площадь.
    Ответ

    42.

  2. Стороны параллелограмма 8 и 5, угол 30°. Найдите площадь.
    Ответ

    $8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 20$.

  3. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 6.
    Ответ

    $9\sqrt{3}$.

  4. Площадь трапеции 60, основания 7 и 13. Найдите высоту.
    Ответ

    $60 : 10 = 6$.

  5. Диагональ квадрата 8. Найдите его площадь.
    Ответ

    $\frac{64}{2} = 32$.

  6. Длина окружности $10\pi$. Найдите площадь круга, делённую на $\pi$.
    Ответ

    $R = 5$, ответ 25.

  7. Периметр треугольника 24, радиус вписанной окружности 2. Найдите площадь.
    Ответ

    $S = pr = 12 \cdot 2 = 24$.

Задачи по теме

Навыки по теме

Площадь фигуры на клетчатой бумаге: формула Пика≈ 4 мин Теорема Пифагора: египетские тройки≈ 3 мин
АВ
Методичку подготовил
Александр Владимирович
  • МГУ им. М.В. Ломоносова
  • Творческая лаборатория «Дважды Два»
  • 20+ лет стажа преподавания