Вероятность: «хотя бы один»
Почему «хотя бы один» считают через противоположное событие — и как это экономит половину решения.
- ЕГЭ профиль №5 — вероятности сложных событий
- ОГЭ №10
- ЕГЭ база — вероятность
Событие «хотя бы один» складывается из многих вариантов: ровно один, ровно два, все. Противоположное ему — всего одно: «ни одного». Поэтому считать надо через него.
$$P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни одного}).$$
Для $n$ независимых попыток с вероятностью успеха $p$: $P = 1 - (1 - p)^n$.
Пример 1.
В магазине три продавца. Каждый занят с клиентом с вероятностью 0,3, независимо от других. Найдите вероятность, что хотя бы один продавец свободен.
Решение. Противоположное событие — «все трое заняты»: $0{,}3^3 = 0{,}027$. Ответ: $1 - 0{,}027 = 0{,}973$.
Ответ: 0,973.
Пример 2.
Сколько раз нужно бросить монету, чтобы вероятность выпадения хотя бы одного орла была больше 0,9?
Решение. $1 - 0{,}5^n \gt 0{,}9 \iff 0{,}5^n \lt 0{,}1$. $0{,}5^3 = 0{,}125$, $0{,}5^4 = 0{,}0625$. Значит, $n = 4$.
Ответ: 4 раза.
Ошибка. Складывать вероятности: «три продавца по 0,7 — это 2,1». Вероятность не бывает больше 1; события «первый свободен» и «второй свободен» совместны, их нельзя просто складывать.
Проверь себя
- Стрелок попадает с вероятностью 0,8. Найдите вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах.
Показать ответ
$1 - 0{,}2^2 = 0{,}96$.
- Бросают две игральные кости. Найдите вероятность, что хотя бы на одной выпадет шестёрка.
Показать ответ
$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{11}{36}$.
- Каждая из двух ламп перегорает за год с вероятностью 0,1 независимо. Найдите вероятность, что хотя бы одна проработает год.
Показать ответ
$1 - 0{,}1^2 = 0{,}99$.