К содержанию
кРепетито

8–9 класс · ОГЭ · ЕГЭ7 мин чтения

Квадратные корни

Определение арифметического корня, свойства, вынесение множителя, избавление от иррациональности и сравнение корней.

Скачать PDF Задачи по теме
Содержание

Квадратный корень из числа $a$ — это число, квадрат которого равен $a$. На вычисление корней в ОГЭ есть отдельное задание, а без уверенной работы с ними не решить ни квадратное уравнение, ни задачу по геометрии.

Определение

Арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ из неотрицательного числа $a$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен $a$: $\sqrt{a} \ge 0$ и $(\sqrt{a})^2 = a$.

Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается: $\sqrt{-4}$ не существует среди действительных чисел. И важная тонкость: $\sqrt{x^2} = |x|$, а не $x$. Например, $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.

Свойства

Свойства корней ($a, b \ge 0$)

СвойствоПример
$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$
$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, $b \ne 0$$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{25} = 5$
$\sqrt{a^2} = |a|$$\sqrt{(3 - \pi)^2} = \pi - 3$
$(\sqrt{a})^2 = a$$(\sqrt{7})^2 = 7$
$\sqrt{a^{2n}} = |a|^n$$\sqrt{2^6} = 2^3 = 8$

Сложения среди свойств нет: $\sqrt{9 + 16} = 5$, а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.

Вынесение и внесение множителя

Под корнем ищут полный квадрат-множитель: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Обратно: $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$ — так удобно сравнивать корни.

Пример 1.

Упростите $\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{32}$.

Решение. $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.

Пример 2 (как в ОГЭ).

Найдите значение $\dfrac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{15}}$.

Решение. $\sqrt{\frac{5 \cdot 12}{15}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2.

Пример 3.

Найдите значение $(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)$.

Решение. Разность квадратов: $11 - 9 = 2$.

Ответ: 2.

Пример 4.

Найдите значение $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 - \sqrt{48}$.

Решение. $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 4\sqrt{3}$. А $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. Разность равна 8.

Ответ: 8.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Если в знаменателе $\sqrt{a}$, умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$. Если $\sqrt{a} \pm b$ — на сопряжённое выражение $\sqrt{a} \mp b$.

Пример 5.

Освободитесь от иррациональности: $\dfrac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$.

Решение. $\dfrac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{7} + \sqrt{3}$.

Сравнение и оценка корней

Чтобы сравнить $2\sqrt{7}$ и $3\sqrt{3}$, вносим множители: $\sqrt{28}$ и $\sqrt{27}$. Значит, $2\sqrt{7} \gt 3\sqrt{3}$. Чтобы понять, между какими целыми лежит $\sqrt{40}$, ищем соседние квадраты: $36 \lt 40 \lt 49$, поэтому $6 \lt \sqrt{40} \lt 7$.

$n$1112131415161718192025
$n^2$121144169196225256289324361400625

Ещё разборы

Пример 6 (корень из выражения с переменной).

Упростите $\sqrt{x^2 - 6x + 9}$ при $x \lt 3$.

Решение. Под корнем полный квадрат: $\sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$. При $x \lt 3$ выражение $x - 3$ отрицательно, поэтому $|x - 3| = 3 - x$.

Ответ: $3 - x$.

Пример 7 (уравнение $x^2 = a$).

Решите уравнения $x^2 = 7$ и $x^2 = -4$.

Решение. $x^2 = 7$: $x = \pm\sqrt{7}$ — два корня. $x^2 = -4$: квадрат не бывает отрицательным, корней нет.

Ответ: $\pm\sqrt{7}$; корней нет.

Пример 8 (оценка на числовой прямой, ОГЭ №7).

Какое из чисел $\sqrt{30}$, $\sqrt{47}$, $\sqrt{60}$ лежит между 6 и 7?

Решение. $6^2 = 36$, $7^2 = 49$. Между ними только 47.

Ответ: $\sqrt{47}$.

Коротко о главном

  • $\sqrt{a} \ge 0$ и определён при $a \ge 0$; $\sqrt{a^2} = |a|$.
  • Корень из произведения и частного — произведение и частное корней; из суммы — нет.
  • Выносим множитель-квадрат: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$; вносим, чтобы сравнивать.
  • Иррациональность в знаменателе убираем умножением на сопряжённое.

Задачи посложнее

Пример 9 (вложенный корень).

Упростите $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$.

Решение. Ищем полный квадрат: $(2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$. Значит, корень равен $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$, потому что $2 \gt \sqrt{3}$.

Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

Пример 10 (иррациональное уравнение).

Решите уравнение $\sqrt{3x + 1} = 4$.

Решение. Правая часть положительна, возводим в квадрат: $3x + 1 = 16$, $x = 5$. Проверка: $\sqrt{16} = 4$.

Ответ: 5.

Частый вопрос: «Можно ли оставить корень в знаменателе?» Математически это не ошибка, но в ответе ОГЭ нужно число, а в преобразованиях дробь с иррациональностью в знаменателе сложнее сравнивать и складывать. Поэтому её обычно убирают.

Типичные ошибки
  • $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — неверно.
  • $\sqrt{x^2} = x$ без модуля — теряется случай $x \lt 0$.
  • Писать $\sqrt{16} = \pm 4$. Арифметический корень равен 4; два значения $\pm 4$ — это корни уравнения $x^2 = 16$.
  • Складывать «непохожие» корни: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5}$.

Задачи для самопроверки

  1. Вычислите $\sqrt{0{,}36} + \sqrt{1\frac{9}{16}}$.
    Ответ

    $0{,}6 + \frac{5}{4} = 1{,}85$.

  2. Вычислите $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$.
    Ответ

    9.

  3. Упростите $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$.
    Ответ

    $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

  4. Найдите значение $(\sqrt{13} - \sqrt{3})(\sqrt{13} + \sqrt{3})$.
    Ответ

    10.

  5. Между какими целыми числами лежит $\sqrt{90}$?
    Ответ

    Между 9 и 10.

  6. Вычислите $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$.
    Ответ

    $\sqrt{5} - 2$, потому что $2 - \sqrt{5} \lt 0$.

  7. Найдите значение $\dfrac{(2\sqrt{3})^2}{6}$.
    Ответ

    $\frac{12}{6} = 2$.

Задачи по теме

Навыки по теме

Теорема Пифагора: египетские тройки≈ 3 мин ОДЗ за 30 секунд≈ 4 мин Свойства логарифмов на практике≈ 3 мин Проверка корней подстановкой≈ 4 мин Быстрый счёт дискриминанта≈ 6 мин
АВ
Методичку подготовил
Александр Владимирович
  • МГУ им. М.В. Ломоносова
  • Творческая лаборатория «Дважды Два»
  • 20+ лет стажа преподавания