Математика 9 класс · №1 Квадратичная функция
Задачи с ответами и разборами · 50 задач
Найдите наибольшее значение функции $y = -x^{2} + 10x - 19$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Ветви направлены вниз, поэтому наибольшее значение — в вершине. $x_0 = 5$, $y(5) = 6$.
Ответ: 6.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите сумму абсцисс точек пересечения графика функции $y = -x^{2} + 4x + 5$ с осью $x$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Нули функции — корни уравнения $-x^{2} + 4x + 5 = 0$: $x = -1$ и $x = 5$. Сумма $4$ (или по теореме Виета: $-\frac{b}{a}$).
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите наибольшее значение функции $y = -x^{2} + 6x - 21$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Ветви направлены вниз, поэтому наибольшее значение — в вершине. $x_0 = 3$, $y(3) = -12$.
Ответ: −12.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите наименьшее значение функции $y = 2x^{2} - 4x + 13$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Ветви направлены вверх, поэтому наименьшее значение — в вершине. $x_0 = 1$, $y(1) = 11$.
Ответ: 11.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите абсциссу вершины параболы $y = x^{2} + 6x + 4$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3$.
Ответ: −3.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите сумму абсцисс точек пересечения графика функции $y = x^{2} - 4x + 3$ с осью $x$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Нули функции — корни уравнения $x^{2} - 4x + 3 = 0$: $x = 1$ и $x = 3$. Сумма $4$ (или по теореме Виета: $-\frac{b}{a}$).
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите наименьшее значение функции $y = 3x^{2} + 18x + 16$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Ветви направлены вверх, поэтому наименьшее значение — в вершине. $x_0 = -3$, $y(-3) = -11$.
Ответ: −11.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите сумму абсцисс точек пересечения графика функции $y = 2x^{2} - 8x - 42$ с осью $x$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Нули функции — корни уравнения $2x^{2} - 8x - 42 = 0$: $x = -3$ и $x = 7$. Сумма $4$ (или по теореме Виета: $-\frac{b}{a}$).
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите абсциссу вершины параболы $y = -2x^{2} - 16x - 24$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-16}{-4} = -4$.
Ответ: −4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите наименьшее значение функции $y = x^{2} - 4x + 15$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Ветви направлены вверх, поэтому наименьшее значение — в вершине. $x_0 = 2$, $y(2) = 11$.
Ответ: 11.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите сумму абсцисс точек пересечения графика функции $y = -x^{2} + x + 6$ с осью $x$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Нули функции — корни уравнения $-x^{2} + x + 6 = 0$: $x = -2$ и $x = 3$. Сумма $1$ (или по теореме Виета: $-\frac{b}{a}$).
Ответ: 1.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите абсциссу вершины параболы $y = -2x^{2} + 20x - 47$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{-4} = 5$.
Ответ: 5.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите сумму абсцисс точек пересечения графика функции $y = 3x^{2} - 9x - 84$ с осью $x$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Нули функции — корни уравнения $3x^{2} - 9x - 84 = 0$: $x = -4$ и $x = 7$. Сумма $3$ (или по теореме Виета: $-\frac{b}{a}$).
Ответ: 3.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите сумму абсцисс точек пересечения графика функции $y = x^{2} + x - 20$ с осью $x$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Нули функции — корни уравнения $x^{2} + x - 20 = 0$: $x = -5$ и $x = 4$. Сумма $-1$ (или по теореме Виета: $-\frac{b}{a}$).
Ответ: −1.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите абсциссу вершины параболы $y = -x^{2} + 8x - 14$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{-2} = 4$.
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите сумму абсцисс точек пересечения графика функции $y = -2x^{2} + 98$ с осью $x$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Нули функции — корни уравнения $-2x^{2} + 98 = 0$: $x = -7$ и $x = 7$. Сумма $0$ (или по теореме Виета: $-\frac{b}{a}$).
Ответ: 0.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите абсциссу вершины параболы $y = 3x^{2} - 18x + 32$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-18}{6} = 3$.
Ответ: 3.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите наименьшее значение функции $y = 2x^{2} + 4$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Ветви направлены вверх, поэтому наименьшее значение — в вершине. $x_0 = 0$, $y(0) = 4$.
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите абсциссу вершины параболы $y = -2x^{2} - 8x - 1$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{-4} = -2$.
Ответ: −2.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите абсциссу вершины параболы $y = -x^{2} - 10x - 37$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{-2} = -5$.
Ответ: −5.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите наименьшее значение функции $y = x^{2} - 8x + 20$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Ветви направлены вверх, поэтому наименьшее значение — в вершине. $x_0 = 4$, $y(4) = 4$.
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите абсциссу вершины параболы $y = 3x^{2} - 36x + 106$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-36}{6} = 6$.
Ответ: 6.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите сумму абсцисс точек пересечения графика функции $y = -x^{2} + 7x - 12$ с осью $x$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Нули функции — корни уравнения $-x^{2} + 7x - 12 = 0$: $x = 3$ и $x = 4$. Сумма $7$ (или по теореме Виета: $-\frac{b}{a}$).
Ответ: 7.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите наибольшее значение функции $y = -x^{2} - 10x - 34$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Ветви направлены вниз, поэтому наибольшее значение — в вершине. $x_0 = -5$, $y(-5) = -9$.
Ответ: −9.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите наименьшее значение функции $y = 3x^{2} + 12x + 6$.
Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Ветви направлены вверх, поэтому наименьшее значение — в вершине. $x_0 = -2$, $y(-2) = -6$.
Ответ: −6.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $c$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(0;\,-2)$, точка $(1;\,-1)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $1$, значит, $a = 1$.
$y = 1(x + 0)^2 - 2 = x^{2} - 2$, откуда $a = 1$, $b = 0$, $c = -2$.
Ответ: −2.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $c$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(1;\,-2)$, точка $(2;\,0)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $2$, значит, $a = 2$.
$y = 2(x - 1)^2 - 2 = 2x^{2} - 4x$, откуда $a = 2$, $b = -4$, $c = 0$.
Ответ: 0.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $c$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(3;\,4)$, точка $(4;\,3)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $-1$, значит, $a = -1$.
$y = -1(x - 3)^2 + 4 = -x^{2} + 6x - 5$, откуда $a = -1$, $b = 6$, $c = -5$.
Ответ: −5.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $c$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(-1;\,1)$, точка $(0;\,0)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $-1$, значит, $a = -1$.
$y = -1(x + 1)^2 + 1 = -x^{2} - 2x$, откуда $a = -1$, $b = -2$, $c = 0$.
Ответ: 0.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $b$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(-2;\,0)$, точка $(-1;\,1)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $1$, значит, $a = 1$.
$y = 1(x + 2)^2 + 0 = x^{2} + 4x + 4$, откуда $a = 1$, $b = 4$, $c = 4$.
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $b$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(-1;\,-1)$, точка $(0;\,0)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $1$, значит, $a = 1$.
$y = 1(x + 1)^2 - 1 = x^{2} + 2x$, откуда $a = 1$, $b = 2$, $c = 0$.
Ответ: 2.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $b$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(-3;\,3)$, точка $(-2;\,1)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $-2$, значит, $a = -2$.
$y = -2(x + 3)^2 + 3 = -2x^{2} - 12x - 15$, откуда $a = -2$, $b = -12$, $c = -15$.
Ответ: −12.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $b$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(3;\,4)$, точка $(4;\,3)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $-1$, значит, $a = -1$.
$y = -1(x - 3)^2 + 4 = -x^{2} + 6x - 5$, откуда $a = -1$, $b = 6$, $c = -5$.
Ответ: 6.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $c$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(0;\,-2)$, точка $(1;\,0)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $2$, значит, $a = 2$.
$y = 2(x + 0)^2 - 2 = 2x^{2} - 2$, откуда $a = 2$, $b = 0$, $c = -2$.
Ответ: −2.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $b$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(-2;\,-2)$, точка $(-1;\,-1)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $1$, значит, $a = 1$.
$y = 1(x + 2)^2 - 2 = x^{2} + 4x + 2$, откуда $a = 1$, $b = 4$, $c = 2$.
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $a$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(-2;\,4)$, точка $(-1;\,3)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $-1$, значит, $a = -1$.
$y = -1(x + 2)^2 + 4 = -x^{2} - 4x$, откуда $a = -1$, $b = -4$, $c = 0$.
Ответ: −1.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $b$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(-2;\,4)$, точка $(-1;\,3)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $-1$, значит, $a = -1$.
$y = -1(x + 2)^2 + 4 = -x^{2} - 4x$, откуда $a = -1$, $b = -4$, $c = 0$.
Ответ: −4.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $b$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(2;\,-4)$, точка $(3;\,-3)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $1$, значит, $a = 1$.
$y = 1(x - 2)^2 - 4 = x^{2} - 4x$, откуда $a = 1$, $b = -4$, $c = 0$.
Ответ: −4.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $b$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(-1;\,0)$, точка $(0;\,1)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $1$, значит, $a = 1$.
$y = 1(x + 1)^2 + 0 = x^{2} + 2x + 1$, откуда $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$.
Ответ: 2.
Разбор: Александр Владимирович
На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Отмечены вершина параболы и ещё одна её точка.
Найдите $b$.
Запишите функцию в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0;\,y_0)$ — вершина, и найдите $a$ по второй точке.
Вершина $(1;\,0)$, точка $(2;\,-1)$. Отступив от вершины на $1$ по оси $x$, функция изменилась на $-1$, значит, $a = -1$.
$y = -1(x - 1)^2 + 0 = -x^{2} + 2x - 1$, откуда $a = -1$, $b = 2$, $c = -1$.
Ответ: 2.
Разбор: Александр Владимирович