ОГЭ · №16 Окружность
Задачи с ответами и разборами · 25 задач
Из точки $A$ к окружности с центром $O$ проведена касательная $AB$ ($B$ — точка касания). Радиус окружности равен $12$, $AO = 37$. Найдите $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник $OBA$ прямоугольный: $AB = \sqrt{1369 - 144} = 35$.
Ответ: 35.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус окружности равен $13$, а расстояние от её центра до хорды $AB$ равно $5$. Найдите длину хорды $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Половина хорды: $\sqrt{169 - 25} = 12$, хорда $24$.
Ответ: 24.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус окружности равен $37$, а расстояние от её центра до хорды $AB$ равно $12$. Найдите длину хорды $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Половина хорды: $\sqrt{1369 - 144} = 35$, хорда $70$.
Ответ: 70.
Разбор: Александр Владимирович
Из точки $A$ к окружности с центром $O$ проведена касательная $AB$ ($B$ — точка касания). Радиус окружности равен $15$, $AO = 39$. Найдите $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник $OBA$ прямоугольный: $AB = \sqrt{1521 - 225} = 36$.
Ответ: 36.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус окружности равен $17$, а расстояние от её центра до хорды $AB$ равно $8$. Найдите длину хорды $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Половина хорды: $\sqrt{289 - 64} = 15$, хорда $30$.
Ответ: 30.
Разбор: Александр Владимирович
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $124^\circ$. Найдите угол $ADC$. Ответ дайте в градусах.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$: $\angle ADC = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$.
Ответ: 56.
Разбор: Александр Владимирович
Из точки $A$ к окружности с центром $O$ проведена касательная $AB$ ($B$ — точка касания). Радиус окружности равен $40$, $AO = 58$. Найдите $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник $OBA$ прямоугольный: $AB = \sqrt{3364 - 1600} = 42$.
Ответ: 42.
Разбор: Александр Владимирович
Из точки $A$ к окружности с центром $O$ проведена касательная $AB$ ($B$ — точка касания). Радиус окружности равен $14$, $AO = 50$. Найдите $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник $OBA$ прямоугольный: $AB = \sqrt{2500 - 196} = 48$.
Ответ: 48.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус окружности равен $5$, а расстояние от её центра до хорды $AB$ равно $3$. Найдите длину хорды $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Половина хорды: $\sqrt{25 - 9} = 4$, хорда $8$.
Ответ: 8.
Разбор: Александр Владимирович
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $92^\circ$. Найдите угол $ADC$. Ответ дайте в градусах.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$: $\angle ADC = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$.
Ответ: 88.
Разбор: Александр Владимирович
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $60^\circ$. Найдите угол $ADC$. Ответ дайте в градусах.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$: $\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Ответ: 120.
Разбор: Александр Владимирович
Из точки $A$ к окружности с центром $O$ проведена касательная $AB$ ($B$ — точка касания). Радиус окружности равен $8$, $AO = 17$. Найдите $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник $OBA$ прямоугольный: $AB = \sqrt{289 - 64} = 15$.
Ответ: 15.
Разбор: Александр Владимирович
Из точки $A$ к окружности с центром $O$ проведена касательная $AB$ ($B$ — точка касания). Радиус окружности равен $6$, $AO = 10$. Найдите $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник $OBA$ прямоугольный: $AB = \sqrt{100 - 36} = 8$.
Ответ: 8.
Разбор: Александр Владимирович
Из точки $A$ к окружности с центром $O$ проведена касательная $AB$ ($B$ — точка касания). Радиус окружности равен $60$, $AO = 87$. Найдите $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник $OBA$ прямоугольный: $AB = \sqrt{7569 - 3600} = 63$.
Ответ: 63.
Разбор: Александр Владимирович
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $136^\circ$. Найдите угол $ADC$. Ответ дайте в градусах.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$: $\angle ADC = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.
Ответ: 44.
Разбор: Александр Владимирович
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $62^\circ$. Найдите угол $ADC$. Ответ дайте в градусах.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$: $\angle ADC = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.
Ответ: 118.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус окружности равен $74$, а расстояние от её центра до хорды $AB$ равно $24$. Найдите длину хорды $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Половина хорды: $\sqrt{5476 - 576} = 70$, хорда $140$.
Ответ: 140.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус окружности равен $50$, а расстояние от её центра до хорды $AB$ равно $14$. Найдите длину хорды $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Половина хорды: $\sqrt{2500 - 196} = 48$, хорда $96$.
Ответ: 96.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус окружности равен $82$, а расстояние от её центра до хорды $AB$ равно $18$. Найдите длину хорды $AB$.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Половина хорды: $\sqrt{6724 - 324} = 80$, хорда $160$.
Ответ: 160.
Разбор: Александр Владимирович
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $123^\circ$. Найдите угол $ADC$. Ответ дайте в градусах.
Вспомните свойства вписанного четырёхугольника, касательной и хорды.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$: $\angle ADC = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$.
Ответ: 57.
Разбор: Александр Владимирович