Математика 10 класс · №7 Производная
Задачи с ответами и разборами · 50 задач
Найдите значение производной функции $f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2$ в точке $x_0 = -2$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 3x^{2} - 4x$.
$f'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 0 = 20$.
Ответ: 20.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = 3x^{3} + 4x^{2} - 9x + 6$ в точке $x_0 = -2$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 9x^{2} + 8x - 9$.
$f'(-2) = 9 \cdot (-2)^2 + 8 \cdot (-2) - 9 = 11$.
Ответ: 11.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = 3x^{3} - 4x^{2} - 5x - 3$ в точке $x_0 = -1$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 9x^{2} - 8x - 5$.
$f'(-1) = 9 \cdot (-1)^2 - 8 \cdot (-1) - 5 = 12$.
Ответ: 12.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = x^{3} - 5x^{2} + 6x - 8$ в точке $x_0 = 4$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 3x^{2} - 10x + 6$.
$f'(4) = 3 \cdot 4^2 - 10 \cdot 4 + 6 = 14$.
Ответ: 14.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 2x + 3$ в точке $x_0 = 4$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 3x^{2} - 6x - 2$.
$f'(4) = 3 \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 - 2 = 22$.
Ответ: 22.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 6x + 9$ в точке $x_0 = 0$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 3x^{2} - 6x - 6$.
$f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 - 6 = -6$.
Ответ: −6.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = -x^{3} - x^{2} - 4x + 2$ в точке $x_0 = -4$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = -3x^{2} - 2x - 4$.
$f'(-4) = -3 \cdot (-4)^2 - 2 \cdot (-4) - 4 = -44$.
Ответ: −44.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = x^{3} + 2x^{2} - 6x + 4$ в точке $x_0 = 2$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 3x^{2} + 4x - 6$.
$f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 6 = 14$.
Ответ: 14.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = -3x^{2} + 9x + 3$ в точке $x_0 = 2$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = -6x + 9$.
$f'(2) = 0 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 9 = -3$.
Ответ: −3.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = -3x^{3} + x^{2} + 3x - 4$ в точке $x_0 = 4$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = -9x^{2} + 2x + 3$.
$f'(4) = -9 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 + 3 = -133$.
Ответ: −133.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = 3x^{3} - x^{2} + 2x + 8$ в точке $x_0 = 1$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 9x^{2} - 2x + 2$.
$f'(1) = 9 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 9$.
Ответ: 9.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = -2x^{2} + x - 3$ в точке $x_0 = 4$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = -4x + 1$.
$f'(4) = 0 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 + 1 = -15$.
Ответ: −15.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = 2x^{3} + 4x^{2} - 2x - 2$ в точке $x_0 = -3$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 6x^{2} + 8x - 2$.
$f'(-3) = 6 \cdot (-3)^2 + 8 \cdot (-3) - 2 = 28$.
Ответ: 28.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = -2x^{3} + x^{2} - 6x + 8$ в точке $x_0 = 4$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = -6x^{2} + 2x - 6$.
$f'(4) = -6 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 - 6 = -94$.
Ответ: −94.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = 3x^{3} + 2x - 1$ в точке $x_0 = 1$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 9x^{2} + 2$.
$f'(1) = 9 \cdot 1^2 + 0 \cdot 1 + 2 = 11$.
Ответ: 11.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 8x - 6$ в точке $x_0 = 2$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 3x^{2} - 6x - 8$.
$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 - 8 = -8$.
Ответ: −8.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x$ в точке $x_0 = -3$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 3x^{2} + 2x - 3$.
$f'(-3) = 3 \cdot (-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 3 = 18$.
Ответ: 18.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = -x^{3} + x^{2} - 8$ в точке $x_0 = -3$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = -3x^{2} + 2x$.
$f'(-3) = -3 \cdot (-3)^2 + 2 \cdot (-3) + 0 = -33$.
Ответ: −33.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = 3x^{2} + 9x - 5$ в точке $x_0 = 4$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 6x + 9$.
$f'(4) = 0 \cdot 4^2 + 6 \cdot 4 + 9 = 33$.
Ответ: 33.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = x^{3} - x^{2} + x - 4$ в точке $x_0 = -1$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 3x^{2} - 2x + 1$.
$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 1 = 6$.
Ответ: 6.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = -2x^{3} - 4x^{2} + 3x$ в точке $x_0 = 1$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = -6x^{2} - 8x + 3$.
$f'(1) = -6 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 + 3 = -11$.
Ответ: −11.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = -2x^{3} + 2x^{2} + 4$ в точке $x_0 = 3$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = -6x^{2} + 4x$.
$f'(3) = -6 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 + 0 = -42$.
Ответ: −42.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 4x + 2$ в точке $x_0 = 1$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 6x^{2} + 6x - 4$.
$f'(1) = 6 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 4 = 8$.
Ответ: 8.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = x^{3} - 8x - 2$ в точке $x_0 = -2$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = 3x^{2} - 8$.
$f'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 + 0 \cdot (-2) - 8 = 4$.
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите значение производной функции $f(x) = -3x^{3} + 4x^{2} + 3x + 7$ в точке $x_0 = 2$.
$(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю.
$f'(x) = -9x^{2} + 8x + 3$.
$f'(2) = -9 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 + 3 = -17$.
Ответ: −17.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^{3} - t^{2} + 12t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 4$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 9t^{2} - 2t + 12$, $v(4) = 9 \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 12 = 148$ (м/с).
Ответ: 148.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 2t^{3} - 4t^{2} + t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 4$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 6t^{2} - 8t + 1$, $v(4) = 6 \cdot 16 - 8 \cdot 4 + 1 = 65$ (м/с).
Ответ: 65.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = -2x^{2} - 5x - 2$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(-1) = 1$, $f'(x) = -4x - 5$, $k = f'(-1) = -1$. Касательная: $y = 1 + (-1)(x - (-1)) = -x$, $m = 0$.
Ответ: 0.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = -x^{2} - 2x + 5$ в точке с абсциссой $x_0 = -4$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(-4) = -3$, $f'(x) = -2x - 2$, $k = f'(-4) = 6$. Касательная: $y = -3 + 6(x - (-4)) = 6x + 21$, $m = 21$.
Ответ: 21.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^{3} + t^{2} + t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 1$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 9t^{2} + 2t + 1$, $v(1) = 9 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 = 12$ (м/с).
Ответ: 12.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = t^{3} + 4t^{2} + 4t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 5$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 3t^{2} + 8t + 4$, $v(5) = 3 \cdot 25 + 8 \cdot 5 + 4 = 119$ (м/с).
Ответ: 119.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = 2x^{2} - 2x - 3$ в точке с абсциссой $x_0 = 4$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(4) = 21$, $f'(x) = 4x - 2$, $k = f'(4) = 14$. Касательная: $y = 21 + 14(x - 4) = 14x - 35$, $m = -35$.
Ответ: −35.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = -3x^{2} - 6x + 2$ в точке с абсциссой $x_0 = -3$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(-3) = -7$, $f'(x) = -6x - 6$, $k = f'(-3) = 12$. Касательная: $y = -7 + 12(x - (-3)) = 12x + 29$, $m = 29$.
Ответ: 29.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^{3} + 3t^{2} + 5t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 5$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 9t^{2} + 6t + 5$, $v(5) = 9 \cdot 25 + 6 \cdot 5 + 5 = 260$ (м/с).
Ответ: 260.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^{3} - 3t^{2} + 10t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 5$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 9t^{2} - 6t + 10$, $v(5) = 9 \cdot 25 - 6 \cdot 5 + 10 = 205$ (м/с).
Ответ: 205.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = 3x^{2} + 3x - 4$ в точке с абсциссой $x_0 = -4$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(-4) = 32$, $f'(x) = 6x + 3$, $k = f'(-4) = -21$. Касательная: $y = 32 + (-21)(x - (-4)) = -21x - 52$, $m = -52$.
Ответ: −52.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = -3x^{2} + 5x - 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(3) = -13$, $f'(x) = -6x + 5$, $k = f'(3) = -13$. Касательная: $y = -13 + (-13)(x - 3) = -13x + 26$, $m = 26$.
Ответ: 26.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 2t^{3} + 7t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 3$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 6t^{2} + 7$, $v(3) = 6 \cdot 9 + 0 \cdot 3 + 7 = 61$ (м/с).
Ответ: 61.
Разбор: Александр Владимирович
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^{3} + 3t$ ($x$ — в метрах, $t$ — в секундах). Найдите её скорость (в м/с) в момент $t = 4$ с.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$v(t) = x'(t) = 9t^{2} + 3$, $v(4) = 9 \cdot 16 + 0 \cdot 4 + 3 = 147$ (м/с).
Ответ: 147.
Разбор: Александр Владимирович
К графику функции $f(x) = 3x^{2} - x - 8$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$ проведена касательная $y = kx + m$. Найдите $m$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; скорость — производная координаты.
$f(1) = -6$, $f'(x) = 6x - 1$, $k = f'(1) = 5$. Касательная: $y = -6 + 5(x - 1) = 5x - 11$, $m = -11$.
Ответ: −11.
Разбор: Александр Владимирович