Математика 8 класс · №2 Квадратные уравнения
Задачи с ответами и разборами · 75 задач
Решите уравнение $x^{2} - 11x + 28 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = -11$, $c = 28$. $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 9$, $\sqrt{D} = 3$.
$x_{1,2} = \frac{11 \pm 3}{2}$: $x_1 = 4$, $x_2 = 7$.
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $2x^{2} - 2x - 40 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 2$, $b = -2$, $c = -40$. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-40) = 324$, $\sqrt{D} = 18$.
$x_{1,2} = \frac{2 \pm 18}{4}$: $x_1 = -4$, $x_2 = 5$.
Ответ: −4.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $x^{2} + 2x - 63 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = 2$, $c = -63$. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 256$, $\sqrt{D} = 16$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm 16}{2}$: $x_1 = -9$, $x_2 = 7$.
Ответ: −9.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $3x^{2} + 12x - 36 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 3$, $b = 12$, $c = -36$. $D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-36) = 576$, $\sqrt{D} = 24$.
$x_{1,2} = \frac{-12 \pm 24}{6}$: $x_1 = -6$, $x_2 = 2$.
Ответ: −6.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $-x^{2} + 4x + 21 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = -1$, $b = 4$, $c = 21$. $D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 21 = 100$, $\sqrt{D} = 10$.
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm 10}{-2}$: $x_1 = -3$, $x_2 = 7$.
Ответ: −3.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $2x^{2} + 14x - 36 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 2$, $b = 14$, $c = -36$. $D = 14^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 484$, $\sqrt{D} = 22$.
$x_{1,2} = \frac{-14 \pm 22}{4}$: $x_1 = -9$, $x_2 = 2$.
Ответ: 2.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $3x^{2} - 39x + 108 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 3$, $b = -39$, $c = 108$. $D = (-39)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 108 = 225$, $\sqrt{D} = 15$.
$x_{1,2} = \frac{39 \pm 15}{6}$: $x_1 = 4$, $x_2 = 9$.
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $3x^{2} + 27x + 54 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 3$, $b = 27$, $c = 54$. $D = 27^2 - 4 \cdot 3 \cdot 54 = 81$, $\sqrt{D} = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-27 \pm 9}{6}$: $x_1 = -6$, $x_2 = -3$.
Ответ: −3.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $2x^{2} + 9x - 56 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 2$, $b = 9$, $c = -56$. $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-56) = 529$, $\sqrt{D} = 23$.
$x_{1,2} = \frac{-9 \pm 23}{4}$: $x_1 = -8$, $x_2 = \frac{7}{2}$.
Ответ: 3,5.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $-x^{2} + 12x - 32 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = -1$, $b = 12$, $c = -32$. $D = 12^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-32) = 16$, $\sqrt{D} = 4$.
$x_{1,2} = \frac{-12 \pm 4}{-2}$: $x_1 = 4$, $x_2 = 8$.
Ответ: 8.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $x^{2} - 13x + 40 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = -13$, $c = 40$. $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 9$, $\sqrt{D} = 3$.
$x_{1,2} = \frac{13 \pm 3}{2}$: $x_1 = 5$, $x_2 = 8$.
Ответ: 8.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $x^{2} - 8x = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = -8$, $c = 0$. $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 64$, $\sqrt{D} = 8$.
$x_{1,2} = \frac{8 \pm 8}{2}$: $x_1 = 0$, $x_2 = 8$.
Ответ: 8.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $2x^{2} + 19x + 35 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 2$, $b = 19$, $c = 35$. $D = 19^2 - 4 \cdot 2 \cdot 35 = 81$, $\sqrt{D} = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-19 \pm 9}{4}$: $x_1 = -7$, $x_2 = -\frac{5}{2}$.
Ответ: −7.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $-x^{2} + 11x - 18 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = -1$, $b = 11$, $c = -18$. $D = 11^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-18) = 49$, $\sqrt{D} = 7$.
$x_{1,2} = \frac{-11 \pm 7}{-2}$: $x_1 = 2$, $x_2 = 9$.
Ответ: 9.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $x^{2} - 5x + 4 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = -5$, $c = 4$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9$, $\sqrt{D} = 3$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2}$: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $3x^{2} + 3x - 168 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 3$, $b = 3$, $c = -168$. $D = 3^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-168) = 2025$, $\sqrt{D} = 45$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm 45}{6}$: $x_1 = -8$, $x_2 = 7$.
Ответ: 7.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $-x^{2} - x + 2 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = -1$, $b = -1$, $c = 2$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2 = 9$, $\sqrt{D} = 3$.
$x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{-2}$: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.
Ответ: 1.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $x^{2} - 25 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = 0$, $c = -25$. $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 100$, $\sqrt{D} = 10$.
$x_{1,2} = \frac{0 \pm 10}{2}$: $x_1 = -5$, $x_2 = 5$.
Ответ: −5.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $x^{2} + 2x - 48 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = 2$, $c = -48$. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 196$, $\sqrt{D} = 14$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm 14}{2}$: $x_1 = -8$, $x_2 = 6$.
Ответ: −8.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $x^{2} - 25 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = 0$, $c = -25$. $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 100$, $\sqrt{D} = 10$.
$x_{1,2} = \frac{0 \pm 10}{2}$: $x_1 = -5$, $x_2 = 5$.
Ответ: 5.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $x^{2} + 6x - 27 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = 6$, $c = -27$. $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 144$, $\sqrt{D} = 12$.
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm 12}{2}$: $x_1 = -9$, $x_2 = 3$.
Ответ: 3.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $x^{2} - 7x = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = -7$, $c = 0$. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 49$, $\sqrt{D} = 7$.
$x_{1,2} = \frac{7 \pm 7}{2}$: $x_1 = 0$, $x_2 = 7$.
Ответ: 7.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $x^{2} - 6x + 5 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = -6$, $c = 5$. $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16$, $\sqrt{D} = 4$.
$x_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{2}$: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Ответ: 5.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $-x^{2} + 9x - 8 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = -1$, $b = 9$, $c = -8$. $D = 9^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8) = 49$, $\sqrt{D} = 7$.
$x_{1,2} = \frac{-9 \pm 7}{-2}$: $x_1 = 1$, $x_2 = 8$.
Ответ: 8.
Разбор: Александр Владимирович
Решите уравнение $x^{2} - 1 = 0$.
Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.
$D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a = 1$, $b = 0$, $c = -1$. $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4$, $\sqrt{D} = 2$.
$x_{1,2} = \frac{0 \pm 2}{2}$: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.
Ответ: 1.
Разбор: Александр Владимирович
Один из корней уравнения $x^{2} + x + c = 0$ равен $-5$. Найдите второй корень.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 + x_2 = -1$, поэтому $x_2 = -1 - (-5) = 4$.
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите сумму квадратов корней уравнения $x^{2} - 10x + 16 = 0$.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
$x_1 + x_2 = 10$, $x_1 x_2 = 16$. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 10^2 - 2 \cdot 16 = 68$.
Ответ: 68.
Разбор: Александр Владимирович
Не решая уравнение $x^{2} - 6x - 55 = 0$, найдите произведение его корней, увеличенное на их сумму.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 x_2 = -55$, $x_1 + x_2 = 6$. $-55 + 6 = -49$.
Ответ: −49.
Разбор: Александр Владимирович
Не решая уравнение $x^{2} + 11x + 18 = 0$, найдите произведение его корней, увеличенное на их сумму.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 x_2 = 18$, $x_1 + x_2 = -11$. $18 - 11 = 7$.
Ответ: 7.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите сумму квадратов корней уравнения $x^{2} - 4x - 12 = 0$.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
$x_1 + x_2 = 4$, $x_1 x_2 = -12$. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2 \cdot (-12) = 40$.
Ответ: 40.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите сумму квадратов корней уравнения $x^{2} + x - 20 = 0$.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
$x_1 + x_2 = -1$, $x_1 x_2 = -20$. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-1)^2 - 2 \cdot (-20) = 41$.
Ответ: 41.
Разбор: Александр Владимирович
Не решая уравнение $x^{2} - 9x + 20 = 0$, найдите произведение его корней, увеличенное на их сумму.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 x_2 = 20$, $x_1 + x_2 = 9$. $20 + 9 = 29$.
Ответ: 29.
Разбор: Александр Владимирович
Один из корней уравнения $x^{2} - 20x + c = 0$ равен $9$. Найдите второй корень.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 + x_2 = 20$, поэтому $x_2 = 20 - 9 = 11$.
Ответ: 11.
Разбор: Александр Владимирович
Не решая уравнение $x^{2} - 5x - 6 = 0$, найдите произведение его корней, увеличенное на их сумму.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 x_2 = -6$, $x_1 + x_2 = 5$. $-6 + 5 = -1$.
Ответ: −1.
Разбор: Александр Владимирович
Один из корней уравнения $x^{2} + 4x + c = 0$ равен $2$. Найдите второй корень.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 + x_2 = -4$, поэтому $x_2 = -4 - 2 = -6$.
Ответ: −6.
Разбор: Александр Владимирович
Не решая уравнение $x^{2} - 9 = 0$, найдите произведение его корней, увеличенное на их сумму.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 x_2 = -9$, $x_1 + x_2 = 0$. $-9 + 0 = -9$.
Ответ: −9.
Разбор: Александр Владимирович
Не решая уравнение $x^{2} + 8x + 15 = 0$, найдите произведение его корней, увеличенное на их сумму.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 x_2 = 15$, $x_1 + x_2 = -8$. $15 - 8 = 7$.
Ответ: 7.
Разбор: Александр Владимирович
Один из корней уравнения $x^{2} - 11x + c = 0$ равен $10$. Найдите второй корень.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 + x_2 = 11$, поэтому $x_2 = 11 - 10 = 1$.
Ответ: 1.
Разбор: Александр Владимирович
Не решая уравнение $x^{2} - 10x + 16 = 0$, найдите произведение его корней, увеличенное на их сумму.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 x_2 = 16$, $x_1 + x_2 = 10$. $16 + 10 = 26$.
Ответ: 26.
Разбор: Александр Владимирович
Один из корней уравнения $x^{2} + 4x + c = 0$ равен $3$. Найдите второй корень.
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
По теореме Виета $x_1 + x_2 = -4$, поэтому $x_2 = -4 - 3 = -7$.
Ответ: −7.
Разбор: Александр Владимирович